2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sinlim(cos )xx x →(2)n(3)74lim x x →∞- (4)1lim sin(sin)2nn k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使ba f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n Mf x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0bn n ag x f x dx →+∞=⎰.6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++(10分) (2)5(21)lim 62n n n→∞-(10分)(3)132lim [().2x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使.3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰.4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.5.(13)证明:函数项级数11((1))x nn x e nn ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛.6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2baa b f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!xn t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224baa b f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰2006年数学分析1.(30) (1)111sin)1(sin lim121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3)dx xx ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin)1(),(2-+=,求)1,(x f x '. (5)dxdy e y x y xD22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.(2)()lim ()lim ()x x af a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在.(3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。

3.(20)设)(x f 在]1,0[上连续,)1()0(f f =,(1)证明: 存在01[0,]2x ∈,使得001()()2f x f x =+.(2)试推测|:对任意正整数n ,是否存在01[0,]n x n -∈,使得001()()f x f x n=+,并证明你的结论.4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且0)(>x f ,记0()()()xxtf t dtx f t dtϕ=⎰⎰, (1)求0lim ()x x ϕ+→. (2)证明:()x ϕ在(0,)+∞上是严格单调递增. 5.(10)证明: 若1nn a∞=∑绝对收敛,则)(12311-∞=+++∑n n n a a a a 也绝对收敛.6.(15)设)(x f 在[0,]2π上连续,证明: (1){sin }[0]2nx π在，上不一致收敛. (2){sin ()}[0]2n x f x π（）在，上一致收敛的充要条件是()02f π=.7.(10)设),,(z y x f 为3R 上的n 次齐次函数:对),,(),,(,0z y x f t tz ty ta f t n =>∀,且具有一阶连续偏导数,'(,,)0z f x y z ≠,若方程(,,)0f x y z =确定了可微的隐函数(,)z g x y =,证明:(,)z g x y =必为一次齐次函数. 8,(20)设(,)f x y 2在R 上具有二阶连续的偏导数,证明:(1)对2R 内任意光滑简单闭曲线L ，总有2222()L Df f f ds dxdy n x y ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰，其中n 为L 的外法方向，fn ∂∂是(,)f x y 沿n 的方向导数，D 是L 围成的有界闭区域;(2)(,)f x y 为2R 是的调和函数（即22220f f x y∂∂+≡∂∂）的充要条件是对2R 内的任意光滑简单闭曲线L ，总有0Lfds n∂=∂⎰. 9.(15)设n 是正整数,给定方程1nx x +=,证明: (1)此方程仅有惟一的正根(0,1)n x ∈. (2)lim 1n n x →∞=.2007年数学分析1.(30) 计算题:(1)1)]1sin[sin(ln )1(ln lim 230--→x x e x x . (2) 设x x x x y +=ln ,求y '.(3)dx e x dx e x x ⎰⎰+∞-+∞-⋅02044.(4)设),(y x f 可微,且b f a f f y x ===)1,1(,)1,1(,1)1,1(,令)],(),,([)(x x f x x f f x F =,求)1('F . (5)dxdy ey x y x D222)(33)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D .(6) 求⎰-=Lx x ydx e ydy e I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,2(A 的下半圆周x y x 222=+.2.(25)设)(x f 在),0(+∞上可导,且)(x f x '⋅在),0(+∞上有界,证明: (1))(x f 在),0(+∞上一致连续.(2))(lim )0(0x f f x +→+=存在.(3)若将条件“)(x f x '⋅在),0(+∞上有界”改为“)(lim 0x f x x '⋅+→和)(lim x f x x '⋅+∞→都存在”,试问: 还能否推出)(x f 在),0(+∞上一致连续.如果能请证明你的结论，如果不能请举反例.3.(25)设)(x f 在),0(+∞内4阶可导, (1) 证明:若)(lim x f x ∞→和)(lim x f x '∞→都存在,则0)(lim ='∞→x f x .(2) 若)(lim x f x ∞→和)(lim 4x f x ）（∞→都存在,是否能推出对任意的正整数41≤≤k ,)(lim x f k x ）（∞→都存在且为0,请证明你的结论.4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且A x f x =∞→)(lim (A 可以为∞+或∞-),试证:⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim. 5.(15)设∑==≥nk k n n a s a 1,0,证明:∑∞=1n n a 收敛⇔∑∞=1n nns a 收敛. 6.(15)若n a 单调递减,且0lim =∞→n n a ,证明:(1)∑∞=1cos n n nx a 在]2,[απα-上一致收敛,其中πα≤≤0. (2)∑∞=1cos n nnx a在]2,[απα-上一致收敛的充要条件是∑∞=1n n a 收敛.7.(15)设),(y x u u =是由方程组⎩⎨⎧='+'+++=0)()()()(z g z f y x z g z yf zx u 所确定的二阶连续可微隐函数,其中g f ,有二阶连续的导数,证明:0)(222222=∂∂∂-∂∂⋅∂∂y x u yu x u .8.(15)设),,(z y x f 上3R 具有二阶连续的偏导数,证明:(1)对3R 内任意光滑简单闭曲面S ,总有dxdydz z fy f x f dS n f VS )(222222∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ,其中n 为S 的外法方向,f n ∂∂是),,(z y x f 沿n 的方向导数,V 是S 围成的有界闭区域; (2) ),,(z y x f 为3R 是的调和函数（即0222222≡∂∂+∂∂+∂∂zfy f x f ）的充要条件是对3R 内的任意光滑简单闭曲线S ，总有0=∂∂⎰⎰dS n fS.2008年数学分析1.(36)计算题: (1) n n n n n n)12()1(1lim -+∞→ (2)dxdydz z y x t t z y x t ⎰⎰⎰≤++→+++222222240sin 1lim (3) 求曲线积分⎰+-Lyx ydxxdy 229,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim x f x '∞→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:)(αx f 在),0[+∞上一致连续.3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,使得)()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-.4.(20)证明:函数项级数∑∞=-=1)(n nxnex f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和函数)(x f 在),0(+∞上可以任意次求导.5.(20)证明:方程)sin(2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且+∞<'+⎰dx x u x u ))()((22,试证:(1)存在),0[+∞中的子列∞=1}{n n x 使得当∞→n 时, +∞→n x 且0)(→n x u(2)存在某常数0>C ,使得2122},0[)))()((()(sup dx x u x u C x u x ⎰∞++∞∈'+≤8.(18)设3R ⊂Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω∂T 0,.(1)设v u ,是Ω上具有连续二阶偏导数的函数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∂ΩΩ∂∂+∇∇-=∆,其中222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆,u ∇为u 的梯度, n u∂∂为u 沿区域的边界的外法向n的方向导数;(2)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续一阶偏导数,试证:),0[,),,,(),,,(T t dxdydz t z y x t udxdydz t z y x u dt d ∈∀∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;(3)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续二阶偏导数且满足3u u tu+∆=∂∂若u 在),0[T ⨯Ω上恒为零记2222)()()(z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∇,试证dxdydz u u t E ⎰⎰⎰Ω-∇=)4121()(42在),0[T 上是减函数.2009年数学分析1.(30)计算题: (1)1)1()]ln 1cos[sin()sin(lim 0-++→βαx x x x (2) 计算二重积分dxdy y yD⎰⎰sin ,其中D 是由0,1,===x y x y 围成的区域.(3) 求曲线积分⎰-+----C y x dxy dy x 22)2()1(4)2()1(其中C 为平面内任意一条不经过点)2,1(得正向光滑封闭简单曲线2.(12)设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内,若对任意的),(b a c ∈,都有)(lim x f cx →存在,且)(lim x f ax +→和)(lim x f bx +→也存在，则)(x f 在开区间),(b a 内有界.3.(12)证明:含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可微,且存在0>M ,使得M x x f x f x x 2)()(),1,0(<-'∈∀,证明: (1)xx f )(在]1,0[内一致连续. (2))(lim 0x f x +→存在.5.(20)证明下面结论: (1)若)(x f 在]1,0[上连续,则⎰=∞→10)(lim dx x f x n x . (2)若)(x f 在]1,0[上连续可微,则⎰=∞→10)1()(lim f dx x f x n n n .6.(18)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0 , 00,sin ),(222222222y x y x y x y x y x y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性.7.(20)设函数列)}({x f n 中的每一项函数)(x f n 都是],[b a 上的单调函数,试证明:(1)若∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛,则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上一致收敛.(2)若每一项函数)(x f n 的单调性相同,且∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都收敛，则在上一致收敛.8.(18)设f 连续,证明:(1)证明:⎰⎰⎰⎰--=Vdx x x f dxdydz z f 112)1)(()(π,其中1:222≤++z y x V .(2)记函数dxdydz cz by ax f c b a F V⎰⎰⎰++=)(),,(,其中1:222≤++z y x V ,证明:球面1222=++c b a 为函数),,(c b a F 的等值面,即),,(c b a F 在球面1222=++c b a 上恒为常数,并求出此常数.2010年数学分析1.(30)计算题: (1)设函数)(x f 定义在),(+∞-∞上,满足:1)0()(lim ,cos )()2(0===→f x f x x f x f x ,求)(x f . (2)设⎰=40tan πxdx a nn ,求)(121+∞=+∑n n n a a n的值.(3) 求曲线积分dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰,其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线,方向从z 轴正向看是逆时针的.2.(12)设0,)(>=ααx x f ,证明:当10≤<α时, )(x f 在),0(+∞上一致连续; 当1>α时, )(x f 在),0(+∞上不一致连续.3.(12)证明:含参量x 反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于点))(,(c f c (b c a <<),证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(=''x f .5.(20)设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛,且对任意],[b a x ∈存在x 的邻域)(x U ,使得)}({x f n '在],[)(b a x U ⋂上一致有界,证明:(1))}({x f n '在]1,0[上一致有界. (2))}({x f n 在]1,0[上一致收敛.6.(20)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0, 00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数,且+∞<⎰+∞dx x f 0)(1,证明: (1)存在数列),2,1)(,0[ =+∞∈n x n 满足:}{n x 严格单调递增,+∞=+∞=∞→∞→)(lim ,lim n n n n x f x . (2)+∞=⎰+∞→dt t f xxx 02)(1lim .8.(16)已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数,记z y x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∆,222222(1)证明:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅-∂∂=∇⋅∇VVSdxdydz f g dS n fgdxdydz f g )()(,其中n 表示S 的外法线方向,S 为球面1222=++z y x .(2)若222z y x f ++=∆,试计算:dxdydz z fzy x z y f z y x y x f z y x xI V)(222222222∂∂+++∂∂+++∂∂++=⎰⎰⎰.。