(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
2 2 x y y x 2 1 2 1 2 2 a b a b (a 0，b 0) 2 2 2 c a b
2 2
F1 ( 7,0) F2 ( 7,0)
F1 ( 5,0) F2 (5,0)
F1 (0, 10) F2 (0,10)
把椭圆方程化成标准 形式后， x2项的分母较大，焦点 在x轴上； y2项的分母较大，焦 点在y轴上.
把双曲线方程化成标 准形式后， x2项的系数为正，焦 点在x轴上； y2项的系数为正，焦 点在y轴上.
∵ ∴
a2
2a = 6,
b2
c=5
a = 3, c = 5
x2 y2 1 (x>0) 所以点P的轨迹方程为： 9 16
∴
b2 = 52-32 =16
变 式 k 3或k _____ 9 . (2)方程表示双曲线，则 k的取值范围是 __________ 练 习 2 2
3.已知双曲线8kx ky 8的一个焦点为（ 0,3 ）， 则k的值为 （ ） B 65 65 A.1 B.－1 C. D.－ 3 3
解：(1)选 C.由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝4， 所以||PF1|－8|＝4， 所以|PF1|＝4 或 12. (2)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)． 由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4.
2 两边平方得 r2 1＋r2－2r1²r2＝16，
F1
y
M
o
F2
x
- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a a (x c) y
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
探究二、双曲线定义的应用
x2 y2 2.(1)若双曲线 － ＝1 上的一点 P 到它的右焦 4 12 点 F2 的距离为 8， 则点 P 到它的左焦点 F1 的距离是__________ x2 y2 (2)已知双曲线 － ＝1，F1、F2 是其两个焦点，点 M 在双曲 4 9 线上．若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积．
2
2
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
x2 y2 y2 x2 1与 判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16
结论： 看
x , y 前的系数，哪一个为正，则
2
2
焦点在哪一个轴上。
练习1：根据方程指出焦点坐标： x2 y 2 （ 1） 1 16 9 x2 y 2 （ 2） 1 16 9 x2 y 2 （ 3） 1 64 36 （ 4） 4 x 9 y 36
F1 ( 13,0) F2 ( 13,0)
探究一、求双曲线的标准方程
归纳：焦点定型，a、b、c三者之二定量
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
y 2 x2 1、a 4, c 5 焦点在y轴上 16 9 1 x2 y 2 1 2、焦点为 (5, 0), (5, 0) 且 b 3 16 9
x2 y 2 3.以椭圆 1的焦点为焦点，且过点A( 15,4) 27 36 2 2
y x 1 4 5 4.双曲线过两点P1 (3,0), P 2 (6, 3)
x2 y 2 1 9 3
x2 y2 练习: 如果方程 2 m m 1 1 表示焦点在x轴上
的双曲线， 求m的取值范围.
3.已知双曲线8kx 2 ky 2 8的一个焦点为（ 0,3 ）， 则k的值为 （ ） 65 65 A.1 B.－1 C. D.－ 3 3
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P， PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程.
变 解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支， 式 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方 练 程为： 2 2 x y 习 1( x 0) (a 0, b 0)
即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16， 即 4 S△F1MF2＝52－16， 所以 S△F1MF2＝9.
探究点三 利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆 M 与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝9 外切，且与圆 C2：(x －3)2＋y2＝1 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
[解] 设动圆半径为 R， 因为圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切， 所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， 所以|MC1|－|MC2|＝4. 所以点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支， 且有 a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， x 2 y2 所以所求轨迹方程为 － ＝1(x≥2)． 4 5
思考：
(双曲线的右支)
|MF2| - |MF1| = 2a
(双曲线的左支)
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 说明
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
思考： （1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
变式:若表示双曲线呢？
Hale Waihona Puke 变 式 练 习x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是__________ ______ ； (2)方程表示双曲线，则 k的取值范围是 __________ _____ .
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P， PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程.
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | =常数 （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2.双曲线的定义