L
y

q
o dq L b
P
'
x
U P'
dU
q 8 0 L ln
L
qdx 8 0 L( b x )
L

b L b L
练习7. 证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
a
静电场特性：
b
E
d
c
q
有源
保守
高斯定理
环路定理
作如图环路: abcd


均匀带电球面：

2 0 r
( 带电直线）
E外 qr 4 0 r
3
E内 0 ,
无限大均匀带电平面： E

2 0
( 带电平面）
[练习1] 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1. 均匀带电，线密度为 2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为 3. 非均匀带电，线密度为 0 sin
E

2 0


0
E
……
二 . U 的计算
场强积分法 叠加法
1. 场强积分法 ：
Ua
零势点
注意
E dl
a
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径.
(2) E 为路径上各点总场，若各区域 E 表达式不同，
应分段积分.
(3) 积分值与零势点选取有关 . 选取原则：
R
0
rdr
r

r 2
4 0
R
U外

r
0 E外 dr E内 dr R

r
R dr
2
0
2 0 r

R
rdr
2 0

R
2
2 0
ln
R r

R
2
4 0
E ~ r 曲线和 U ~ r 曲线
E

R
R
rro来自UR1 r
h
S
r
o
r
2
R
r
(1) 由定义求
(2) 由点电荷(或典型电荷分布) E 公式
和叠加原理求
(3) 由高斯定理求
(4) 由
E 与 U
的关系求
典型静电场 点电荷：
E qr 4 0 r
3
均匀带电圆环轴线上： E
1
2
qxi
2
3 2
4 0 ( R x )
无限长均匀带电直线： E
j
0
2

0
cosd
4 0 R

2 0 R
Eo
2 0 R
dq
y
解：3）
dE

d
R

o
dE
x
0sin
dq Rd dE dq 4 0 R
2
; 沿径向
dq
有无对称性？
Ey
sin sin( - )
y
dE
s
(3)
q
内
?
dr
S
k 4 3 q内 V r r 3
对否 ？
r
r o

R
dq dV
k r
R
4r dr
2
R
r R:
r R:
q
内

dV r
0 0
r r
k
2dr 2kR 2 4r
q内
dV
R1
思考 (1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！

r1
E2
E1
P
R2
o1
a
o2
r2
半径 R 1均匀带电实心球体在P点的场强： 1 E 半径 R 2均匀带电实心球体在P点的场强：E 2 所求场强 E P E1 E 2而 E1 E 2 、 均可由高斯定理求出.

kR
2 0 r
沿径向
E内 E外
k 2 0 kR
2
dr
S
r

2 0 r
r
2
o
R
沿径向
E
〈5〉对结果的定性理解：
k 2 0
1 r
2
q内 r
E r
2
1
2
o
R
r
总效果: E内大小为恒量
练习4. 在半径R1 ，体电荷密度 的均匀带电球体内挖 去一个半径R2的球形空腔。空腔中心o2与带电球体中 心o1 相距为a [(R2+ a )< R1], 求空腔内任一点电场 。
0

sin 2d 0 E i dE x i 4 0 R 8 0 R 0
i
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
R
思考：〈1〉用哪种方法求解?
x
d 叠加法： q dE dE
o
y y

〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
0
r
0
k
4r dr 2kr
2
2
dr
S
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
E 4r
2
r
r o

1 E dS
R
s
0
q
内

1
0
q
内
得：
E内
2kr
2 2
4 0 r
2kR 4 0 r
2 2

k 2 0
2 2
沿径向
E外
r2 E2 3 0
R1

o1
a
E
R2
a E P E1 E 2 ( r1 r2 ) 3 0 3 0
o2
腔内为平行于 o o a 1 2
的均匀电场！
(3) 思考：请总结获得均匀电场的方法

R1

o1
a
E
R2
o2
E
U
U
U内
q 4 0 R
U外
q 4 0 r
练习5. 求无限长均匀带电圆柱体
R
( R , ) 电势分布。
解： 场强积分法
.
先由高斯定理求电场分布.

r
高 斯 面
r
高 斯 面 l
如何选高斯面？
l

R
R
r

选高 h 半径 r 的同轴圆柱面 为高斯面 .
h
S

1 E dS E 2rh
4 0 R

2 0 R

Eo
i 2 0 R
dq
y
解：2）
dq Rd dq 4 0 R
2

d
R

o
dE
x
dE
; 沿径向

dE
对称性分析与 1）有何不同？
Ex
dq
dE
/2
x
0

2
Ey

dE
y
2
dE cos
电荷有限分布选 U 0 电荷无限分布选 U 有限处 0
2.
叠加法 思路： dq dU U dU
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点. 典型带电体的电势：
q 4 0 r
q 4 0 ( R x )
2 2
1 2
点电荷：
均匀带电圆环轴 线上： 均匀带电球面：
ab , cd 上
Edl


b
E dl
a

d
E dl 0
c
a
E
d
b
da . bc 上路径相等 而 E 大小不等 .
又
c
q
（电力线密度不同）


c
E dl
b

a
E dl
d

E dl
L
c d a E dl E dl E dl E d l 0
b a b c d
违反静电场环路定理 , 如图所示电场不是静电场。
自学：教材229页 例一
同学们好！
?
如果你老是在你的舒服区里头 打转，你就永远无法扩大你的视 野，永远无法学到新的东西。只 有你跨出舒服区以后，你才能使 自己人生的圆圈变大，你才能挑 战自己的心灵，使之变得更加坚 强，最终把自己塑造成一个更优 秀的人。
－－（美）布伦达.乌尔巴奈克
习题课：E , U 的计算
一.
E
的计算
对数曲线
练习6. 电量 q均匀分布在长为2L的细棒上 。求： (1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处P点的电势 。 (2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P点的电势。
y
P a
解：叠加法 将带电细棒视为点电荷集合
dq
'
q 2L
r
L
dx 令 U 0
q
P o dq L b x
(1) dU

qdx
dq 4 0 r
qdx
2 2
1 2
8 0 L( x a )
q 4 0 L ln L