小波的“容许”条件
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。
(x) ()
()2
C
d
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，
在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质， 并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(0) (x)dx0
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。
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2.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
数学中的显微镜小波
小波神经网络原理及其应用 ——短时交通流量预测
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主要内容
1.小波变换与傅里叶变换的比较 2.小波变换的基本原理与性质 3.几种常用的小波简介 4.小波变换的应用领域 5.小波分析应用前景 6.小波变换的去噪应用 7.小波神经网络
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1.小波变换与傅里叶变换的比较
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸 缩因子b的函数
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➢ 假定小波母函数窗口宽度为△t，窗口中心为t0，则相 应可求出连续小波的窗口中心为at0+τ，窗口宽度为a· △t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ- △t ·a/2, at0+τ+△t · a/2]
➢ 同样，对于小波母函数的频域变换，其频域窗口中心
幅度 幅度
时间
傅 立 叶 变 换
时间
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2.小波变换的基本原理与性质
幅度
时间
频率
短 时 傅 立 叶 变 换
时间
尺度
小 波 变 换
时间
时间
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幅度
2.小波变换的基本原理与性质
小波变换的定义：
小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频 率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可 以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较 低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具 有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于 分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波 变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号 时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优 于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。
为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的连续小波的傅立叶
变换为： a,()a12ej (a)
➢ 其频域窗口中心为： a,
1 a
0
➢
窗口宽度为：
1 a
➢
信号在频域窗内：[1
a
11 0 精 选P2 PTa,a
1 02 a]13
➢ 从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口
➢ 中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t·△
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1.小波变换与傅里叶变换的比较
频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。
信息，问题就迎刃而解了精选。PPT
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2.小波变换的基本原理与性质
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
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2.小波变换的基本原理与性质
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，
这就导致了小波分析。 精选PPT
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1.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信 号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
➢ 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法， 信息为瞬时频率、瞬时能量谱
信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或 者哪几种信号表示方法
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3.小波变换的基本原理与性质
为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势
➢
ω为窗口函数的窗口面积，则：ta,a,
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3.小波变换的基本原理与性质
关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小 波变换 连续小波变换定义为
C( a W ,b ) x ( t T ) a , ,b ( f t ) R x ( t )a ,b ( t ) d R t x ( t ) a 1 2( t a b ) dt
（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的
“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的
“时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频
率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号
时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变
换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服
上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频