相似三角形与圆1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB 于点D，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连结BF，与直线CD 交于点G．求证：BC2 =BG BF2、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B，点D 是⊙O 上的一点，且AD∥OC.求证：AD·BC=OB·BD3．如图，A C 是圆O的直径，AC =10 厘米，PA，PB 是圆O的切线，A，B 为切点．过A作A D ⊥BP ，交B P 于D点，连结A B，BC ．（1）求证△ABC ∽△ADB ；（2）若切线AP 的长为12 厘米，求弦AB 的长．4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝6，延长AB 到点C，使BC＝AB，D 是⊙O 上一点，DC＝6 2 ．求证：(1)△CDB∽△CAD；(2)CD 是⊙O 的切线．5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是劣弧AC 的中点，BD 交AC 于点E.⑴求证：A D2 = DE ⋅D B5A⑵若B C =，CD DE 的长2C6．如图10，直线D E 经过⊙O上的点C，并且O E =O D，EC =D C，⊙O交直线O D 于A、B两点，连接BC ，AC ，O C ．求证：（1）O C ⊥ DE ；（2）△ACD ∽△CBD ．7、如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.（1）求证:∆ABE ～∆ABD ；（2）延长B C 至F，连接F D使∆BDF 的，求∠EDF 的8．如图，在R t△ABC 中，斜边B C =12，∠C =30°，D 为B C 的中点，△ABD 的外接圆⊙O 与AC 交于F 点，过A 作⊙O 的切线AE 交DF 的延长线于（1）求证：AE ⊥DE ；（2）计算：AC·AF 的值．C EH9．如图， A B 为⊙O 的直径， C D ⊥ A B 于点 E ，交⊙O 于点 D ， O F ⊥ A C 于点 F ．（1）试说明△ ABC ∽△DBE ；（2）当∠A=30°，AF= 3 时，求⊙O 中劣弧的长．AB10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E ，连结 DE 、BE ，且∠C =∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若 OA =10，AD =16，求 AC 的长．C DE FBOA11、AB 是⊙O 的直径，点 E 是半圆上一动点（点 E 与点 A 、B 都不重合），点 C 是 BE 延长线上的一点，且 CD ⊥AB ，垂足为 D ，CD 与 AE 交于点 H ，点 H 与点 A 不重合。
（1）求证：△AHD ∽△CBD（2）连 HB ，若 CD=AB=2，求 HD+HO 的值。
AO D B12.如图，Rt △BDE 中，∠BDE =90°，BC 平分∠DBE 交 DE 于点 C ，AC ⊥CB 交 BE 于点 A ，△ABC 的外接 圆的半径为 r .(1)求证： BC ⋅ BD = r ⋅ ED ；(2)若 BD =3，DE =4，求 AE 的长.BFE·OCA13．如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；(2)求 sin ∠E 的值．14.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点 A ，过 B 点作 BC ∥OD 交⊙O 于点 C ，连接 OC 、AC ，AC 交 OD 于点 E .（1）求证：△COE ∽△ABC ；B（2）若 AB =2，AD = 3 ，求图中阴影部分的面积.D15、如图，已知⊙O 的弦 AB 垂直于直径 CD ，垂足为 F ，点 E 在 AB 上，且 EA = EC 。
⑴ 求证：AC 2 = AE ·AB ；⑵ 延长 EC 到点 P ，连结 PB ，若 PB = PE ，试判断 PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
PD16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 C ，BD ⊥PD ，垂足为 D ，连 接 BC 。
求证：（1）BC 平分∠PBD ；D（2） BC 2＝AB BD 。
CP A OBO 17.将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F ，且 BC=OD 。
（1） 求证：DB ∥CF 。
（2） 当 OD=2 时，若以 O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 OB。
18． 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 M ，AE 切⊙O 于点 A ，交 BC 的延长线于点 E ，连接 AC ．（1）若∠B ＝30°，AB ＝2，求 CD 的长；（2）求证：AE 2＝EB ·EC ．ECAM ∙BD19．如图， PAB ，PCD 是O 的两条割线， AB 是O 的直径， AC ∥OD ．（1）求证： C D =（先填后证）．PA（2）若PC = 5 ，试求6AB的值．AD PB20. 如图， AB 为⊙ O 的直径， AD 平分 ∠BAC 交⊙ O 于点 D ， DE ⊥ AC 交AC 的延长线于点 E ，BF ⊥ A B 交 A D 的延长线于点 F ，（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（2）若 D E = 3, ⊙ O 的半径为 5，求 B F 的长．F AB21．已知：如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 AC // OD ,BD 切⊙ O 于 B ,联结 CD ．（1）判断 CD 是否为⊙ O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由．（2）若 AC = 2 , O D = 6 ,求⊙O 的半径．B22．如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60︒，AB 与 PC 交于 Q 点．（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；AP （2）求证：PB= AQ；QB（3）若∠ABP = 15︒，△ABC 的面积为 4 3 ，求 PC 的长．23．如图， A ，B ，C ，D 四点在O 上， A D ，BC 的延长线相交于点 E ，直径 A D = 10，OE = 13 ，且∠EDC = ∠ABC .CE DE（1）求证：=AE BE（2）计算 CE BE 的值A（3）探究： BE 的取值范围24．如图，半径为 O 内有互相垂直的两条弦 AB 、CD 相交于 P 点．(1)求证：P A ·PB =PC ·PD ；(2)设 BC 的中点为 F ，连结 FP 并延长交 AD 于 E ，求证：EF ⊥AD ：(3)若 AB =8，CD =6，求 OP 的长．25.如图，点 T 在⊙O 上，延长⊙O 的直径 AB 交 TP 于 P,若 PA=18,PT=12,PB=8. (1)求证：△PTB ∽△PA T ；(2)求证：PT 为⊙O 的切线；︵(3)在A T 上是否存在一点 C,使得 BT 2=8TC ?若存在，请证明；若不存在，请说明理由.26．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P ， A C = PC ，∠C O B = 2∠PC B ．（1）求证： PC 是⊙O 的切线；1（2）求证： BC =AB ；2（3）点 M 是 AB 的中点， C M 交 AB 于点 N ，若 AB = 4 ，求 M N MC 的值．CAO N B PM27.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 C ，且 OD ⊥BC ，垂足为 F ，OD 交⊙O 于点 E ．（1）证明：BE ＝CEA（2）证明：∠D ＝∠AEC ；（3）若⊙O 的半径为 5，BC ＝8，求△CDE 的面积．（第25题图）E28．如图， AB 是⊙O 的直径， A C 切⊙O 于点 A ，且 AC=AB ，CO 交⊙O 于点 P ，CO 的延长线交⊙O 于点 F ，BP 的延长线交 AC 于点 E ，连接 AP 、AF ．C求证：（1）AF ∥BE ；（2）△ACP ∽△FCA ；P（3）CP=AE ．B·AOF29．如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ，已知 BC ∶CA ＝4∶3，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A 、B 重合)，过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点(1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；(3)当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积 S ．D30、已知，AB 是⊙O 的直径, P 是⊙O 上一点,作 PC ⊥AB 于 C,PB 交⊙O 于 D,DC 交⊙O 于 E,EB 与 PC 的 延长线交于 F,连结 AE,弧 DB 上有一动点 M,连结 PM 、AM （1）∠AEB 的度数是，根据是 如果弧 DE=弧 AE ，弦 ED=3cm ，⊙O 的半径为 2cm ，则 cos ∠MAB=。
（2）求证：PC ·CF=EC ·CD(3)若 AM 交 PC 与 G, △PGM 满足什么条件时,PM 与⊙O 相切?说明理由PD MGAC OBEF31．已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 延长线上．以点O 为圆心，O P 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点．（1）如图，如果A P =2PB ，P B =B O ．求证：△CAO ∽△BCO ；BP =1，O P 是O A ，O B 的比例中项．当点C在圆O上运（2）如果AP =m（m是常数，且m>1），动时，求AC : BC 的值（结果用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围．COA P BFA B33．图 12-1 所示，在△ABC 中， AB = AC = 2 ，∠A = 90 ， O 为 B C 的中点，动点 E 在 B A 边上自由 移动，动点 F 在 A C 边上自由移动．（1）点 E ，F 的移动过程中， △OEF 是否能成为∠EOF =45等腰三角形时动点 E ，F 的位置．若不能，请说明理由．的等腰三角形？若能，请指出 △OEF 为（2）当∠EOF = 45时，设 B E = x ， C F = y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，写出 x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以 O 为圆心的圆与 AB 相切（如图 12-2），试探究直线 EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．BCB图 12-1图 12-234.如图，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A ，BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，AD ⊥BC 于点 D ，AD 交 BM于点 N ，ME ⊥BC 于点 E ，AB 2=AF·AC ，cos ∠ABD= 3，AD=12．5⑴求证：△ANM ≌△ENM ；⑵求证：FB 是⊙O 的切线；⑶证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S ．1035．如图，在△ABC 中 ∠ACB = 90 ， D 是 A B 的中点，以 D C为直径的O 交△ABC 的三边，交点分别是 G ，F ，E 点． G E ，CD 的交点为 M ，且 ME ， MD : C O = 2 : 5 ．（1）求证： ∠GEF = ∠A ．（2）求O 的直径 CD 的长．（3）若 c os ∠B = 0.6 ，以 C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为 X 轴和Y 轴，建立平面直角坐标系， 求直线 AB 的函数表达式．BGFDMOC E A。