主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究 阮晓明,王琴. 高中数学十大难点概念的调查研究. 《数学教育学报》, 2012年第5期
不同性别教师比较
不同职称教师比较
不同学校的学生的比较
二、数学学习的基本原理与策略
1. 良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 2. 结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进(教学层次论) 3. 典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知冲突与心理挣扎） 5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基） 6. 在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源/核心概念和思想方法） 7. 多向思考与变式教学 8. 双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 9. 数学高层次思维的专项教学（任务设计，思维品质）。
你同意上述观点吗？
F2 1
青浦实验的目标分类
分析
运用 领会 概念
计算
F1 0
1
问题聚焦
数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）
松江的研究计划
干预点的设计
保持高认知水平的七个教学要素
①给思维和推理搭“脚手架”； ②为学生提供元认知方法； ③示范高水平的操作行为； ④维持对证明、解释或意义的强调； ⑤任务建立在已有知识基础上； ⑥在概念间建立联系； ⑦适当的探索时间。
变化二 变化三
基本图形 变式①
变式② 变式④
变式⑤
4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径
•
认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图
式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。
•
专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发）
•
在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。
增加信息的激活水平 ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产 生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这 影响到操作的流畅性。
三种记忆的生理过程理论： (1) 信息乃物理性地被纪录在神经元中。 (2) 信息以电子信号方式被传导与储存。 (3) 信息改变了神经元的结构。
•
长作业的运用
•
子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也（论语）
5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡
• 三个馒头的故事 • 数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究） • 美国加州的数学课程标准：这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡
并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候 则专注于两个或三个全部。
————《学记》
中学数学课程发展的九条主线
(Z. Usiskin)
1. 整数→有理数→实数→复数和向量 2. 数的表示→代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数 3. 个别图形的性质→某一类图形的一般性质 4. 归纳推理→演绎推理（局部的演绎）→数学系统内的演绎（整体的演绎） 5. 数的应用→运算的应用→建立函数模型 6. 对一次测量的估计→一组数的统计；描述性统计→推断性统计 7. 简单几何图形的全等与相似→所有图形全等与相似以及几何变换 8. 计算器→图形计算器→计算机代数系统 9. 把数学看作是对一堆事实的记忆→把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想
3. 典型例题是数学认知结构的重要成分
• 数学思维的特征之一：划归； • 平面几何中的基本图形分析法； • 样例学习（Learning by sample）
问题解决的变式化归
化归 已知问题
化归 变式1 推出
化归
未知问题
变式2 推出
推出
基本图形分析法 乌鲁木齐市第十三中学 胡玉社
变化一
变式③
变式⑥
7. 多向思考与变式教学
1. 数学中的多元表征； 2. 变式教学； 3. 解题三部曲。
多元表征
数学教学中的各种变式
概念性变式 过程性变式
概念变式 非概念变式
标准变式 非标准变式
精致练习 铺垫教学 解题三部曲 问题解决的变式化归
变式三部曲
一题多解
一法多用
用多种方法解决同 一个问题
将解法应用于多种情 形
鲍建生数学课堂设计研究
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编辑部电子信箱： sxjxzz@
在线视频介绍（忻重义）： /magazine/math/1.htm
一、数学教育研究的学科特征 ？？
教育
数学
数学教育的实践与经验
数学教育是一门设计科学 (Lesh, R. & Sriraman, B. 2005)
概念理解：多角度的理解（悟）
认知性技能an)na1n(n 2 1)d
特征 (1)mnpq amanapaq
(2)SnSn1an
变式
Sn
n(ak
ank1) 2
d 2
n2
(a1
d)n 2
n
n1
a1 dk
k1
k1
活用
问题解决：变式化归（用）
变异空间大 多步化归 背景简单
2. 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进
大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教 之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而 无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。
君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而 弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣。
practice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、 及仔细的不断的指导与监督。
9：高层次数学思维的专项教学
影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： 1. 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动； 2. 针对高认知层次数学任务的教学策略(Quasar)。
价来建构理论
(Van den Akker, et al., 2006: 5)
数学课堂教学设计研究的论文体例
大体上可以分以下四节： 1. 问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和 深刻性） 2. 策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教 学设计，设计方案应有创意） 3. 教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问 题） 4. 反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学 设计；教师本身的教学行为）
提高工作记忆的效能
• 工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大 量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。
• 在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元 • 工作记忆的容量有限，一般为7 ± 2个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将
一题多变 原始问题
通过改变条件或结论 得到多种变式问题
8. 精致练习
• ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度 的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。
• 但是，并不是练习的次数越多越好，研究表明有一个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收” • Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberate
走进课堂，解决学与教中的实际问题 课堂教学
.
• 目标定位
教 学
• •
任务设计 过程与行为
的 • 监控与调节
有
效
性
.
• 知能结构
• 发展阶段 • 研修方式
教 师
• 行为跟进
专
业
发
展
案例研究
教学实验
设计研究
数学课堂教学设计研究的基本问题
❖ 效率：事半功倍还是事倍功半？ ❖ 数学概念/原理学习的奠基性活动有哪些？（历史过程、逻辑过程与心理过程；本源性问题；现实模型等） ❖ 数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？ ❖ 数学认知水平：发展层次，差异性 ❖ 数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳） ❖ 超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？如何培养高层次的数学认知？ ❖ 建模与应用：类型、功能与价值（APEC项目） ❖ 情境的创设：什么样的问题情境是有效的？ ❖ 技术的介入：如何有效的运用技术？ ❖ 区分教学：学困生和资优生怎么办？
理论与经验的互动
经验
建构
理论
解释
源于实践 实用 个人化 嵌于特定的情境之中 比较模糊，不易表征、把握和传授 难以跨领域的交流。
支持预测 为研究提供分析框架 具有解释的能力 能应用于广泛的现象 有助于对复杂现象的思考 作为资料分析的工具 提供一种深层次交流的语言
1. 良好的认知结构在知识丰富领域的问题解决中有重要的作用（迁移理论） 数学思想方法 典型例题 数学双基
小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。 • 工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节：
① 信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消退； ② 信息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所
贮存的信息； ③ 执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。