一维分布函数的全体{F(x;t), t∈T}称为一维分布函数
族.
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2．随(t ) E[ X (t )], t T
随机过程与马尔可夫过程
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随机过程
引言 随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 二维随机过程
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随机过程
引言
现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与 发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程 (2)不确定的变化过程 如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形 成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。 3
T(-,+),如果对任意t T ，有一定义在Ω上的随机变 量X(,t)与之对应,则称{X(,t),t T}为随机过程，简记 为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
注释：(1) 随机过程X(t),t T是定义在Ω×T上的
二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的
两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际
测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
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(2)通常将随机过程X(t),t T 解释为一个物理系统， X(t)表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状 态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的 t0 T，及x I,X(t0)=x 说成是在时刻t0系统处于状态x.
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二、随机过程的分类
1．按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类：
(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型 随机变量,则称过程{X(t),tT}为连续型随机过程. (2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是离散型 随机变量，则称过程{X(t),tT}为离散型随机过程。
(3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的
推广.
2.随机过程的例子
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例1:(分枝过程)一个个体（第0代）可能生产 0,1,2……
个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一 起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
便于理解，符合实际。但参数t可以表示为其它的量， 例如序号，距离等等.
例2: 某寻呼台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有
关的随机变量X(t )，对于固定的t, X(t )是一个取非 负整数的随机变量，故{X(t ),t≥0}是随机过程。
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2．按分布特性分类：
依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。
例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
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三、随机过程的概率分布
1．n维分布函数：
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥1及T中 任意n个不同的参数t1,t2，…，tn，称随机向量 （X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函数
于是我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时
刻为t=0）,它描述了此随机变量的运动过程.我们称这 种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程
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一、随机过程的定义
F { x1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n }, F t 1 , t 2 , , t n T , t T , n 1
称为{X(t),tT}的有限维分布函数族。 当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x},
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如何描述这样的变化过程：
1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位 置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数 x2(t ),… ,因而得到一族函数.
2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机
变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),
(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT,X(t)是连续型
随机变量，则称过程{X(t),tT}为连续型随机序列. 12
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(4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X(t)为离
散型随机变量, 则称过程{X(t),tT}为离散型随机
序列。通常T取为T ={0,1,2…}或T ={0, ± 1， ±2…},此时随机序列常记成{Xn,n=0,1,…}或 {Xn,n0}。
例2: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设Xn是第n次（n≥1）
抛掷的点数，对于n=1,2……的不同值,Xn是不同的随机变 量，因而{Xn, n ≥1}构成一随机过程，称为贝努利过程 或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大 点数，{Xn,n≥1}也是一随机过程。 9
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随机过程{Xn},t∈T}中参数t通常解释为时间集，
F{ x1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n } P{ X (t 1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n ) x n }
为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数.
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变化n及t1,t2，…，tn所得到的有限维分布函数的 全体
1.定义1
设E是一随机实验,样本空间为Ω={}，参数 T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数
X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的
函数,我们称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数 称为这个随机过程的样本函数。
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定义2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={}，参数