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三种基本偏微分方程
波动现象（声波、弹性波和振动）
波动方程：
2u t 2
c2
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
热传导现象（扩散现象）
热传导方程：
u t
a
2
2u x2
2u y 2
2u z 2
f
(x, y, z,t)
平衡态（热平衡、静电势、理想不可压无旋流动等）
Poisson方程：
2u 2u 2u x2 y2 z 2 g(x, y, z)
数学物理方法
主讲教师：景晓东
办公室：北配电楼204 电 话： 82338085 电子邮件：jingxd@
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第一章
第一节 引 言
2
“数学物理”思想
亚里士多德
物理学作为哲学的一个分支
依靠主观猜想和推理讨论物理学问题——非数学的亚里士多德物理（Nonmathematical Aristotelian physics）
Lx
(2h / L)x x [0,L / 2]
(2V / L)x x [0,L / 2]
u(x,0) (2h / L)(L x) x[L/ 2, L] ut (x,0) (2V / L)(L x) x[L / 2, L]
-BERNHARD RIEMANN
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数学物理方法课程的内容
以三类基本偏微分方程——波动、热传导和 调和方程为学习对象
从物理问题中导出数学描述——偏微分方程 经典的解析求解方法——行波法，分离变量
法，积分变换法和格林函数法 分析解的物理意义，了解一些基本的数学物
理概念：特征线，自然频率，本征值，模态 频谱，点源函数等
2）弦做小幅振动，即弦切线与横轴所成角 L
umax 1L1 2L2 max (L1 L2 ) max L L
物理定律
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F
ma
微分思想
弦微段
动力平衡方程
推导过程
u
T2
TT22
cos2 sin 2
(T1 cos1) 0 (T1 sin1) F(
x,
t
)ds
(ds)utt
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工程中数学与物理的结合
定量是工程的基本要求
卡门涡街 (Karman
vortex street)
对机理的深入认识需要通过数学模型
工程设计依靠数学模型的预测性
工程问题
实验检验
数学模型 及求解
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微分方程－物理学的语言
常微分方程[复习]
➢由一元函数及其导数构成的方程
m
d 2x dt 2
dx dt
z
K
u xyz z
温度升高所 需要的热量
流入微元体的热量（瞬时值）
内部产生热量 （瞬时值）
(Cxyz)u
x
K
u x
y
K
u y
z
K
u z
xyzt
F(x, y, z,t)xyzt
u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)
C
u t
x
K
u x
y
K
u y
z
• Poisson方程
如果源的强度不随时间变化，当热传导或扩散过程 达到平衡态时，温度或粒子浓度不随时间变化
u g(x, y, z)
• Laplace方程
u 0
22
第一章
第三节 定解条件
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泛定方程
泛定方程：指一个偏微分方程
泛定方程
2u t 2
c2
2u x2
0
？ u 物理问题
泛定方程的解, u(x,t)
Hamilton 算子：
i
j
j
x y z
q Ku
K
u
i
K
u
j
K
u
k
x
y
z
Qn q nA
流入任一平面热量,瞬时值
u
u
i
u
j
u
j
x y z
z
(q1i q2 j q3k ) (i cos j cos j cos )
q1 cos q2 cos q3 cos
A
q
2）能量守恒：净流入的和内部生成的热量之和
9
第一章
第二节 三类方程的导出
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弦振动方程
两端固定绷紧的弦的横向振动 u
➢ 横向位移 u(t,x) （tP0， 0<x<L）
➢ 初始张力T （0<x<L）
α
o [x, x+dx]
x L
➢ 均匀线密度ρ，单位长度弦所受外力F(x, t)(垂直于弦）
前提假设
1）理想弦：只有沿弦切线方向的张力，忽略弯曲力
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偏微分方程的应用实例
流体运动的控制方程——Navier-Stokes方程
• 绝大多数的自然流动现象 • 各种流体机械的设计原理（压气机） • 十分复杂，至今尚未被完全了解 （如何解释湍流现象）
弹性力学基本方程
• 叶片的振动问题
传热学基本方程
• 涡轮叶片的冷却
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气动声学基本方程
• Lighthill方程、FW-H方程等 • 航空发动机噪声辐射
cos(x ct)
exp[ (x ct)2 ]
sinx / Lsinct / L
…
物理问题的解 否 否
可能 唯一
L x
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定解条件——初始条件
常微分方程
x V
x t0 x0（初始条件）
x a
x
t 0
x0 ,
x t 0
v0（初始条件）
偏微分方程
x Vt x0
x
1 2
at 2
v0t
kx
0
x
偏微分方程
➢由多元函数及其偏导数构成的方程
2u t 2
c2
2u x2
0
练习：验证函数u(t,x)=cos(ct-x)满足上面的偏微分方程
u / t csin(ct x) , u / x sin(ct x) 2u / t2 c2 cos(ct x) , 2u / x2 cos(ct x)
x0
➢作用于物理问题的所有空间点，是空间坐标的函数
➢若物理量的时间偏导数是N阶，那么必需给出0到N-1阶时间偏导数
➢平衡态问题（与时间无关）不需要初始条件
实例——热传导问题
u (x, y, z), (x, y, z) t 0
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实例——波动问题
2u t 2
c2
2u x2
2u y 2
2u z 2
伽利略
倡导用数学方法研究物理问题 但是缺乏系统性和严密性
哲我学们写可在以那说本，永现远在我是们第眼一前次的把伟一大个书拥里—有—许 我里多指所奇的用妙是的结宇语果宙言的。，新但掌方是握，书法如 里公果 的开我 符出们 号来不 ，；先 就在不学未能会了书来解本的 它岁。月这里书，是它用将数赢学得语言别写人出的的重，视符号是三角形，
K
u z
F
(x,
y,
z,t)
均匀导热体
一维情况
u a2u f (x, y, z,t) (a2 K , f F )
t
C
C
u a2 2u f (x, y, z,t)
t
x 2
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扩散现象
（1）q Du （2）质量守恒
算子运算：
1. 遵循矢量和标量运算规则
2. 运算顺序从左到右，微分运算 只向右作用
➢ 选择控制体，应用物理定律，列出数学方程
1．基于微分思路，选微元作为控制体（关于质点的物理定律） 2．基于积分思路，选取“任意”的控制体（关于系统的物理定 律）
➢ 得出关于未知函数的偏微分方程
将数学方程中的所有变量都以未知函数或其偏导数表示
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热传导方程
物理定律
1) 傅立叶定律：热流强度与温度梯度成正比
n
正比于导热体温度升高所需的热量
x
W Cmu, (t时间间隔内） y
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由微元体各侧面流入热量之和
Q1
n1
qyz
(i 0 j 0k ) (q1i q2 j q3k )yz
yz K u
x
(
x
1 2
x,
y,
z
)
Q2
yz
K
u x
(x
1 2
x,
y,z)
y
从1、2两个侧面流入微元体的热量之和
0
u f (x, y, z), u g(x, y, z),
t 0
t t0
(x, y, z)
➢将弦从静止放开
u
A
(2h / L)x x [0,L / 2]
u(x,0) (2h / L)(l x) x[L / 2, L]
h
ut (x,0) 0
o
L/2
➢A点以速度V运动，运动到h位置的时候放开
α1 T1
α2
一些近似关系：
o
x
x+dx
x
cos1 112 / 2 1, cos2 1
sin1
1
tan1
ux
,
x
sin2 2 tan2 ux xdx
ds 1 tan2 1 (112 / 2)dx dx
弦长度变化可以忽略
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在x向动力方程中代入近似关系，得：
T1 T2 弦上各点处张力近似相等
取c2 T / ，f (x,t) F(x,t) / ， 得：
受迫振动方程
自由振动方程
1 2u 2u c2 t 2 x2 f (x, t)