几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题
一、教材分析：
几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。

一、学习目标：
1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。

2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想
三、教学重难点
在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程：
（一）复习引入：
（1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短）
（2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短）
（3）旋转的性质：①旋转不改变__形状和大小；②经过旋转图形上的 _所有点都绕中心沿相同方向转动了相同的角；③任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等__；
（二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离
例1、如图，若AB=5，BC=6，∠C=45°，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，
在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P
1，则线段EP
1
长度的最小值
为，EP
1
最大值为。

C
C1
解题分析：（如图）
（1）先在AC 上找出动点P 所在位置，即当BP ⊥AC 时，P 点到B 点距离最小; (2）P 点的运动路线是在以B 点为圆心,BP 为半径的⊙B 的圆周上运动； (3）通过观察可以发现当P 点运动AB 上，与AB 交于P 1时，EP 1的长度最小； 当P 点运动到AB 的延长线上交于P 2时，EP 的长度值最大。

解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P 点位置 （2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， （3）画图转化，根据点P 的运动轨迹找出P 到E 的最值.
变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90º，BC
＝6，AC ＝12，D 为AC 上一点，AD ＝8，将AD 绕点A 旋转到AD ’,连接BD ’，
F 为BD ’的中点，则CF 长度的最大值为 。

解题分析：如图，取AB 中点P ，连接PC 、PF,可以用中位线 定理和斜边上的中线等于斜边的一半求出PC 、PF ，再利用两 点之间线段最短的知识，得到当F 点在CP 的延长线上时， CP 的长度最大。

解题分析：取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
可得OE=2
1
AB ，再利用勾股定理列出求出DE ；接下来然后根据三角形任意两边之和大于第三
边可得OD 过点E 时最大，并可求出最大值。

从而解答此题。

A C 1
2
解：如图，取AB 中点P ，连接PC 、PF, ∵F 为BD'的中点 ∴FP=1/2AD'=1/2AD=4 又∵∠ACB=90° ∴CP=1/2AB ∵AC=12,BC=6
由勾股定理可得AB=56
∴PC=53, ∴当F 点在CP 的延长线上时,CFmin=53 +4
（三）应用二、利用旋转转移线段，再通过构造三角形，利用三角形三边关系求出最值 例2、如图，在△PAB 中，PA ＝2，PB ＝4，以AB 为边作正方形ABCD ，使得P 、D 两点在AB 的两侧，则PD 的最大值为 ,最小值为 。

解题分析：
考虑到利用正方形的性质（AD=AB ），把△PAD 绕点A 顺时针旋转90°，得到△QAB ， 从而PD=BQ ，而BQ 边又与定线段BP 、PQ 组成三角形，利用两点之间，线段最短的原理，可以得到当点Q 在BP 的延长线上时，BQ 取最大值；当点Q 在线段BP 上时，BQ 取最小值。

解题策略：
此类题中，很难通过作图找出所求线段最值，主要是把所求线段置于含定量的三角形中，利用三角形的三边关系再来解决动点到定点的最值问题。

解：将PA 绕点A 顺时针旋转90得到AQ ，并连接PQ 、BQ 在正方形ABCD 中，AD=AB ，且∠PAQ=∠BAD=90°， ∴∠QAP=∠PAD ∴△QAB ≌△PAD
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
Q
∴PD=BQ
在等腰直角三角形APQ 中，AP=2 ∴QP=22 又∵PB=4
∴当点Q 运动到线段BP 上时，BQ 的最小值等于BP-PQ=4-22 当点Q 运动到BP 的延长线上时，BQ 的最小值等于BP+PQ=4+22
变式练习3：如图，△ABC 为等腰三角形，底边BC 的长度为2，过B 作BD ⊥AC ，以DC 为边作
正方形DEFC ，连接BF ，则线段BF 的最小值为 解题方法：
1、取BC 的中点G ，连接DG ；
2、将△DCG 绕点C 逆时针旋转90°，得到△FCH ；
3、连接BH ，利用勾股定理求出BH 的值；
4、利用三角形的三边关系求出BF 的最小值
在学习完旋转这类几何变换方式之后，我们可以利用旋转这种变换方式转移线段，把几何动点的最值问题转化成三角形的三边关系的问题来求解；或者在旋转变换中的几何图形上的动点到定点的最值问题的解决需要把握运动过程中的不变量，把动量转化成定量来解决。

把动态的问题用几何画板展示，理解旋转过程中的最值的计算方法具有直观的认识，从而形成模型。

备注：作者--陈双平；电话---151********（成都高新实验中学）
A
B
C D
E
F。