中考数学几何图形中的动点问题专题训练(58分)一、选择题(每题6分，共18分)1． 如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为( D ) A.29 B.34 C.5 2 D.41图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，得12×5h ＝13×5×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D.2．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 ( D)【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x ，∴y ＝x 2＋a 2；②当图6－1－22a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝⎩⎨⎧x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a <x ≤3a ），（x －5a ）2（3a <x ≤5a ），∴能大致反映y 与x的函数关系的图象是选项D 中的图象．3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，以23为边长的正方形DEFG 的一边GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是 ( A)【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤23时；②当23＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可． S ＝⎩⎪⎨⎪⎧36t 2（0≤t ≤23），2t －23（23<t ≤6），－233t 2＋（2＋83）t －263（6<t ≤8）.二、解答题(共20分)4．(20分) 如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．(1)若m ＝6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．图6－1－3(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m 的取值范围．图6－1－4【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .∵PD ＝t ，m ＝6，∴P A ＝6－t .∵点D ，点E 关于直线PC 对称．∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∴BE ＝BC 2－EC 2＝62－42＝2 5.在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(25＋t )2，解得t ＝6－2 5.(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝90°，∴EM ＝BC 2－CM 2＝7，∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，第4题答图①∴△ADC ∽△DME ，∴AD DM ＝DC EM ，即AD 7＝47， ∴AD ＝47.第4题答图② 第4题答图③ 如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3. 作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝42－32＝7，由△DME ∽△CDA ，∴DM CD ＝EM AD ，即74＝1AD ，∴AD ＝477，综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是477≤m ＜47.5．(20分) 如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设AD AE ＝n .图6－1－5(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示AD AB 的值；(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EF A .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；(2)由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；(3)由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值．解：设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)证明：由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A .∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ，∴AE ＝GE .(2)当点F 落在AC 上时(如答图①)，由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC .又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴AB DA ＝AE DC .∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n . (3)若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a .当点F 落在线段BC 上时(如答图②)，EF ＝AE ＝AB ＝a .此时n 4a ＝a ，∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD，∴∠FCG ＜90°.第5题答图② 第5题答图③ ①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，∴n ＝16.②若∠CGF ＝90°(如答图③)，第5题答图①则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE ，∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC .∴AB DG ＝AE DC ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4a 2＝(n －2)a ·a ， 解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．∴当n ＝16或8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．(20分)6．(20分) 如图6－1－6，正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E ，M 分别是线段BD ，AD 上的动点，连结AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN ⊥AF ，垂足为H ，交边AB 于点N .(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证：AF ＝MN ；(2)如图②，若点M 从点D 出发，以1 cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以 2 cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，设运动时间为t s. ①设BF ＝y cm ，求y 关于t 的函数表达式；②当BN ＝2AN 时，连结FN ，求FN 的长．图6－1－6【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN ＝∠BAF ，利用“AAS ”可以得出△ADN ≌△BAF 就可以得到结论AF ＝MN ；(2)①由AD ∥BF 可得△ADE ∽△FBE ，利用AD BF ＝DE BE 可以构造y 关于t 的函数表达式；②由(1)可知△MAN ∽△ABF ，∴MA AN ＝AB BF ，又∵BN ＝2AN ，∴6－t 2＝6BF ，用含t 的代数式表示BF ，结合①中的关系式，可以构造关于t 的方程求出t 的值，从而求出BF ，最后利用勾股定理求FN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°.∵MN ⊥AF ，∴∠DHA ＝∠NHA ＝90°，∴∠ADH ＋∠HAD ＝90°，∠NAH ＋∠HAD ＝90°，∴∠ADH ＝∠NAH .在△ADN 与△BAF 中，⎩⎨⎧∠ADN ＝∠BAF ，AD ＝BA ，∠DAN ＝∠ABF ，∴△ADN ≌△BAF ，∴AF ＝DN ，即AF ＝MN .(2)①∵正方形的边长为6 cm ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝2AD ＝6 2 cm ， ∵设运动时间为t s ，根据题意，得BE ＝2t cm ，∴DE ＝ BD －BE ＝(62－2t )cm ，∵AD ∥BF ，∴△ADE ∽△FBE ，∴ AD BF ＝DE BE， ∵BF ＝y cm ，∴6y ＝62－2t 2t，即y ＝6t 6－t ， ∴y 关于t 的函数表达式为y ＝6t 6－t. ②∵BN ＝2AN ，AB ＝6 cm ，∴AN ＝2 cm ，BN ＝4 cm ，由(1)得△MAN ∽△ABF ，又∵DM ＝t cm ，AM ＝(6－t )cm ，∴MA AN ＝AB BF ，即6－t 2＝6BF ，∴BF ＝126－t， 又∵y ＝6t 6－t ，∴126－t ，＝6t 6－t解得t ＝2， 当t ＝2时，BF ＝y ＝6t 6－t ＝3 cm ，在Rt △NBF 中，FN ＝BN 2＋BF 2＝42＋32＝5，∴当BN ＝2AN 时，FN 的长为5 cm.(22分)7．(22分) 如图6－1－7，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵的度数；(2)求证：AC ＝AB ；(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，若点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．图6－1－7【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△P AB ，由三线合一得 ∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ＝14°，∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，以此求得弧CD 的度数为2∠MDB ＝56°；(2)由同角的余角相等，得 ∠ACB ＝∠B ，AC ＝AB ；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)如答图①，连结MD .∵AB ⊥MN ，AM ＝BM ，∴PM 垂直平分线段AB ，∴P A ＝PB ，在等腰三角形P AB 中，∵∠APB ＝28°，∴∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ＝14°，∴∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，在Rt △MPB 中，点D 为斜边BP 的中点，∴DM ＝DP ，∴∠MPD ＝∠DMP ＝14°，∴∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，∴CM ︵的度数＝2∠MDB ＝56°；(2)证明：由(1)可得∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－12∠BAC ，在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－(90°－12∠BAC )－∠BAC ＝90°－12∠BAC ，∴∠ACB ＝∠B, ∴AC ＝AB .第7题答图① 第7题答图② (3)①若要满足题意，则点Q 必为过点A ，C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点，分析图形可得只有过点C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点满足题意． (Ⅰ)若CQ ⊥CP (如答图②点Q 1)，AM ＝BM ＝1，MP ＝4，由勾股定理，得BP ＝12＋42＝17，由(1)(2)可得∠BAC ＝∠APB ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBA ，∴AB BC ＝BP AB ，得BC ＝41717，∴CP ＝131717.由△PCQ 1∽△PMB ，得CP MP ＝PQ 1PB ，解得PQ 1＝134，∴ MQ 1＝4－PQ 1＝34.(Ⅱ)若QD ⊥BP ，由EP ＝DP 可知 △EPQ 2≌△DPQ 2(如答图②点Q 2)，∴ EQ 2⊥EP.(即过点E，D的垂线与线段MN的交点重合)∵点D为线段BP的中点，且Q2D⊥BP，∴Q2D垂直平分线段BP，则Q2P＝Q2B，设Q2M＝x，则Q2B＝Q2P＝4－x,由勾股定理，得BM2＋M2Q2＝B2Q2，12＋x2＝(4－x)2，解得x＝18 5.(Ⅲ)若AC⊥CQ(如答图②点Q3)，∵∠ACQ3＝90°，∴Q3A为该圆的直径，∴点Q3为MP与圆的交点，∵∠MAC＝∠MQ3C＝2∠MPC，∠MQ3C＝∠MPC＋∠Q3CP，∴PQ3＝CQ3，设MQ3＝x，则PQ3＝4－x，AC＝AB＝2，∵A3Q2＝AM2＋M3Q2＝AC2＋C3Q2，∴12＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝19 8.综上所述，MQ的值为34或158或198.②如答图③，过点E作AP的中垂线，交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J，连结AK，KE，DM.∵点M，D分别为AB，BP的中点，∴MD为△ABP的中位线，∴MD∥AP，AM＝DF.又∵AM∥ED，∴四边形MAED为平行四边形，∴AM＝DE，∠MDE＝∠MAP，∴DE＝DF，∵△GHE≌△GHD，∴GE＝GD，∴GE＝GD＝DE＝DF，则△GDE为正三角形，∠GDE＝60°.∵∠EDF＝90°－60°－30°，∴∠DEF＝12(180°－∠EDF)＝75°，∴∠APM＝15°，则∠AKM＝2∠APM＝30°，∴MK＝3，AK＝KP＝2，tan75°＝tan∠MAP＝PMMA＝2＋31＝2＋3，∴tan∠MAP＝tan∠HEP＝tan75°＝2＋3，第7题答图③∵EH为△AMP的中位线，∴EH＝12，GH＝32，∴tan∠HEP＝PHEH＝2＋3，HP＝12(2＋3)，∴MG＝1，∵∠MAC＝2∠MP A＝30°，AM＝1，CJ＝12AC＝12AB＝1，∴MI＝33，IG＝1－33，AJ＝3，∴S△ACG＝12IG·AJ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－33×3＝3－12，S△EDG＝12ED·GH＝12×1×32＝34，∴S△ACGS△DEG＝3－1234＝6－233.。