2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神.【导入新课】回顾提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD =+， DB AB AD =-，我们计算2||AC 和2||BD ． 证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b ，2||AB =|a |2，2||AD =|b |2．得2||AC AC AC =⋅=( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2． ①同理,2||DB =|a |2-2a ·b +|b |2． ② ①+②得 2||AC +2||DB =2(|a |2+|b |2)=2(2||AB +2||AD )． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b 表示向量AO .例2 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10,10,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,32.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以13AR AC =． 同理 13TC AC =． 于是 13RT AC =． 所以 AR ＝RT ＝TC ．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos 2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v =2212||||96v v -=(km/h)，所以， 60 3.1||96d t v ==⨯≈(min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了.例5 已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o ,b a c 35+=,b k a d +=3,当实数k 为何值时，⑴c ∥d ？⑵d c ⊥？解：⑴若c ∥d ，得59=k ；⑵若d c ⊥，得29.14k =- 例6 如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形，求证：①PA=EF ； ②PA ⊥EF.解：以D 为原点，DC 为x 轴正方向建立直角坐标系，则A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1).)22,22(,r r P r DP 则设=. 22(,1).PA r r ∴=-- 22(1,),:(,0),E r F r 点为 22(1,).EF r r ∴=-- 2222||()(1).22PA r r ∴=-+- 2222||(1)().22EF r r ∴=-+- 故.PA EF =0.PA EF PA EF ⋅=⇒⊥而例7 如图，矩形ABCD 接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点， 求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.证明:,,BD PD PB AC PC PA =-=-22222222||()||2||,||()||2||.BD PD PB PD PBPD PB AC PC PA PC PCPA PA ∴=-=-+=-=-+,,,0.BD AC PD PB PA PC PD PB PA PC ⊥⊥⇒⋅=⋅=为直径故222222||||||||||||,BD AC PA PB PC PD ∴+=+++即2222222448.r r PA PB PC PD r +=+++=例8 已知P 为△ABC 一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0．延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD ．解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ， CP ＝AP －AC ＝AP －b ，又 3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴ 3AP ＋4（AP －a ）＋5（AP －b ）＝0，化简，得AP ＝31a ＋125b ． 设AD ＝t AP （t ∈R ），则 AD ＝31t ＋125t ． ① 又设 ＝k （k ∈R ），由 BC ＝AC －＝b －，得 ＝k （b －）． 而 AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ，∴ ＝＋k （－）＝（1－k ）＋k . ②由①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．k t k t 125131解得 t ＝34． 将之代入①，有 AD ＝94a ＋95b ． 课堂小结利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系.作业见同步练习拓展提升一、 选择题1.给出下面四个结论：① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+；② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ；③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC;④ 若向量AB 与BC反向共线，则BC AB +=+. 其中正确的结论有 （ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个2.河水的流速为2m /s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m /s 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）A.10m /sB. 262m /sC. 64m /sD.12m /s3.在ABC ∆中，若)()(-•+=0，则ABC ∆为 ( ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定二、填空题4.已知ABC ∆两边的向量21,e e ==，则BC 边上的中线向量用1e 、2e 表示为 .参考答案 1.B 2.B 3.C 4.)(2121e e +=。