第7单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C【解析】∵a 1=12，S 5=90，∴54512902d ⨯⨯+=，解得d =3，故选C ． 2．在正项等比数列{}n a 中，已知42a =，818a =，则5a 的值为（ ）A ．14B ．14- C ．1- D ．1【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，且42a =，818a =，可得484116a q a ==， 又因为0q >，所以12q =，则541212a a q =⋅=⨯=，故选D ． 3．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72 B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B ．4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”． 其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ） A ．700127里 B ．35063里 C ．28051里 D ．350127里 【答案】A【解析】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为12的等比数列，这些项的和为700，717111()647002*********a S a ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭==⇒=-， 671700127a a q ==，故答案为A ． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且651a a <-，则满足0n S >的最大正整数n 的值 为（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，所以0d <，又651a a <-，所以50a >，60a <，且560a a +>， 所以110101105610()5()5()02a a a S a a a +==+=+>，11111611()1102a a S a +==<，所以满足0n S >的最大正整数n 的值为10．6．已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，39S =，且21a -，31a -，51a -构成 等比数列，则5S =（ ） A ．15 B ．15-C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意()()()1211133921141a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-=+-+-⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴554251252S ⨯⨯=⨯+=．故选D ． 7．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ） A ．66 B ．132C ．66-D ．132-【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推， 即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L ， 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于（ ）A ．12n n a -=B ．2nn a =C ．13-=n n aD ．3nn a =【答案】C【解析】当1n =时，11231S a =-，11a ∴=， 当2n ≥且n ∈*N 时，11231n n S a --=-，则111222313133n n n n n n n S S a a a a a ----==--+=-，即13n n a a -=，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列13n n a -∴=，本题正确选项C ．10．已知数列满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当时，，排除A ； 当时，，B 符合题意； 当时，，排除C ； 当时，，排除D ，故选B ．11．已知数列：11212312342334445555++++++⋯，，，，，那么数列{}11n n n b a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭前项和为（ ） A ．111n -+ B ．1411n ⎛⎫⨯-⎪+⎝⎭C ．11421n ⎛⎫⨯-⎪+⎝⎭D ．1121n -+ 【答案】B【解析】由题意可知：()1122112n n n n n a n n +++⋅⋅⋅+===++， ()111411411122n n n b n n a a n n n n +⎛⎫∴====⨯- ⎪+++⎝⎭⋅， 1111111141412233411n S n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，本题正确选项B ．12．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2017a =（ ） A ．12016B ．12017 C ．12018D ．12019【答案】C 【解析】∵11n n n a a a +=+，112a =，∴1111n n a a +-=． ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为1．∴20171220162018a =+=，则201712018a =．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a =_______． 【答案】8【解析】∵2434(1)a a a =-，∴2334(1)a a =-，则32a =， ∴223512812a a a ===，故答案为8． 14．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q 的值为_______． 【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为q ，可设三数为a q ，a ，aq ，可得384a a aq q⎧=⎪⎨+=⎪⎩，求出21a q =⎧⎨=⎩，公比q 的值为1．15．在数列{}n a 中，11a =，133nn na a a +=+()n ∈*N 猜想数列的通项公式为________．【答案】32n + 【解析】由133n n n a a a +=+，11a =，可得1213334a a a ==+，2323335a a a ==+，3433336a a a ==+，……，∴猜想数列的通项公式为32n a n =+，本题正确结果32n +． 16．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2【解析】Q 正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理得210+2q q -=，又0q >，解得12q =， Q 存在两项m a ，n a使得1a =，2221164m n a q a +-∴=，整理得8m n +=，91191191()10102888m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，则91m n+的最小值为2，当且仅当9m nn m =取等号，但此时m ，n ∉*N ．又8m n +=，所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且247,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求2462n a a a a ++++L ． 【答案】（1）2n a n =+；（2）23n n +．【解析】（1）24,,a a Q 7a 成等比数列，2427a a a ∴=， 即2111(3)()(6)a d a d a d +=++，化简得1(3)0a d d -=，∵公差0d ≠，13a d ∴=，13a Q =，1d ∴=，1(1)2n a a n d n ∴=+-=+．（2）由（1）知222n a n =+，故2{}n a 是首项为4、公差为2的等差数列， 所以2222462()(422)322n n n a a n n a a a a n n +++++++===+L ．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足535S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()413n n n b a a =-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）21n a n =+；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，由题意得52722235S a a a =⎧⎨=⎩，则()()12111545352(6)21a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，化简得112723a d a d +=⎧⎨=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+．（2）证明：()()()()44111113224222n n n b a a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-++++⎝⎭，所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭L1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且21()n n S a n =-∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）221n n n T n =⋅-+．【解析】（1）因为21n n S a =-，当2n ≥时，1121n n S a --=-， 两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，整理可得12n n a a -=，11121a S a ==-Q ，解得11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，12n na -∴=．（2）由题意可得：0112222nn T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， 所以12121222(1)22n nn T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+⋅，两式相减可得1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=--⋅-，∴221n nn T n =⋅-+．20．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，n ∈*N ． （1）求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()221log 1n n b a +=+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：11156n T ≤<．【答案】（1）证明见解析，()21nn a n =-∈*N；（2）见解析． 【解析】（1）由121n n a a +=+，得()1121n n a a ++=+， 即1121n n a a ++=+，且112a +=， ∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，11222n n n a -∴+=⨯=，∴数列{}n a 的通项公式为()21n n a n =-∈*N ．（2）由（1）得：()()212212log 1log 21121n n n b a n ++=+=-+=+，()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭， ()111111123557212311646n n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ∴=-⎪⎢⎥++⎝∈+⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦*N ，又1104610n <≤+，1101046n ∴-≤-<+，1111156466n ∴≤-<+，即11156n T ≤<． 21．（12分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列满足sin2πn n n a b a =，求的前项和．【答案】（1）；（2）()()()2,21123 ,2123n n n k k T n n k k -+=-=⎧⎪=⎨==⎪⎩L L，，，，，，．【解析】（1）由条件，得()3715724a a S S ⎧=+=+⎪⎨⎪⎩，即112724a d a d +==+⎧⎨⎩，132a d ==⎧⎨⎩，所以{a n }的通项公式是．（2）由（1）知，()()21πsinsin πcos π22πn n n n n b a an a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，（1）当21n k =-（k =1，2，3，…）即n 为奇数时，n n b a =-，11n n b a ++=，()123111222n n n n T a a a a a a n --=-+-++-=-+-=--L ； （2）当2n k =（k =1，2，3，…）：即n 为偶数时，n n b a =，11n n b a --=-，123122n n n nT a a a a a n -=-+-+⋯-+=⋅=， 综上所述，()()()2,21123 ,2123n n n k k T n n k k -+=-=⎧⎪=⎨==⎪⎩L L，，，，，，．22．（12分）设正项数列的前n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前n 项和为，且14n n n b a a +=⋅，若对任意都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见证明，；（2）． 【解析】（1）证明：∵，且，当时，，解得． 当时，有，即，即． 于是，即．∵，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．（2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，∴11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ，即()121nn n n λ<+-⋅+对任意都成立()()()()min1121n n n n n n λ⎡⎤++-⋅+⇔<∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦*N ，①当为偶数时，()()21n n nλ++<恒成立，令()()()2123n n f n n nn++==++，()()()()12101n n f n f n n n +-+-=>+Q ，在上为增函数，；②当为奇数时，()()21n n nλ-+<恒成立，又()()2121n n n nn-+=--，()2f n n n=-易知：在为增函数，，∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第7单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 2．已知等比数列{}n a 中，31320a a ⋅=，64a =，则10a 的值是（ ） A ．16 B ．14 C ．6 D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知2313820a a a ⋅==，由64a =，得24826205164a q a ===，41065a a q ∴==，本题正确选项D ． 3．等比数列{}n a 中，12330a a a ++=，456120a a a ++=，则789a a a ++=（ ） A ．240 B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{}n a 中的公比为q ，由12330a a a ++=，456120a a a ++=， 得()123312330120a a a q a a a ++=⎧⎨++=⎩，解得34q =，()3789456480a a a q a a a ∴++=++=．4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么9N 的值为（ ）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于21n +，根据等差数列的求和公式2(1)2n n S +=，299(19)3692N ⨯+==，故选A ．5．已知1，1a ，2a ，9四个实数成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，9五个数成等比数列，则221()b a a -=（ ） A ．8 B ．-8C ．±8D ．98【答案】A【解析】由1，1a ，2a ，9成等差数列，得公差21918413d a a -=-==-， 由1，1b ，2b ，3b ，9成等比数列，得2219b =⨯，∴23b =±，当23b =-时，1，1b ，3-成等比数列，此时211(3)b =⨯-无解，所以23b =，∴()2218383b a a -=⨯=．故选A ． 6．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，则3S =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，解得121q a ==，，则3312712S -==-．故选C ． 7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成， 此数列的第2016项与5的差，即20165a -=（ ）A ．20182014⨯B ．2018201⨯C ．10112015⨯D ．10102012⨯【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1时，()11232322a =+=⨯+⨯； n =2时，()212342432a =++=⨯+⨯；…，由此我们可以推断：()()()12322212n a n n n ⎡⎤=++++=++⨯+⎣⎦L ， ∴()()201612201622016151011205251a ⨯++⨯+-=⨯⎡⎤⎣⎦-=．故选C ． 8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则77a b =（ ） A ．9310B ．172C ．14317D ．15【答案】B【解析】因为1137711313113771131313()271345172=13()213322a a a a a a Ab b b b b b B ++⨯+=====+++，故答案选B ． 9．已知数列{}的前n 项和为，，（），则（ ）A ．32B ．64C ．128D ．256【答案】B 【解析】由，得，又，∴，∴1121n n S S +-=-，即数列{1}是以1为首项，以2为公比的等比数列， 则，则．∴．故选B ．10．数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（ ） A ．1 B ．C ．12D ．【答案】B 【解析】数列为等比数列11211n n n n a a q a a λ+--⇒==--，即，上式恒成立，可知22qqλλ⎧⎨--⎩=⇒==，本题正确选项B ．11．已知函数()()221f x x x=∈+R ，若等比数列满足120191a a =，则（ ）A ．2019B ．20192C ．2D ．12【答案】A 【解析】，()()2112019222221201911121222222=21111111a f a f a a a a a a a ∴+=+=+=+++++++， 为等比数列，则，，即．12．已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，2221n n n c b b +=，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（ ）A ．13B ．16C ．115D ．215【答案】C 【解析】由，，成等比数列得222=b nn a a a ，又是公比不为1的等比数列，设公比为q ，则2222211n b n a q a q -=，整理得1n b n =+，()()22211111=212322123n n n c b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，数列的前项和1111111111=2355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 数列是单调递增数列，则当n =1时取到最小值为115， 可得115λ≤，即的最大值为115，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，则9S =_________． 【答案】36【解析】{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，284652a a a a a +==+，得出54a =， 又由()199599362a a S a ⋅+===．14．在数列{}n a 中，111,21n n a a a n +=-=+，则数列的通项n a =________．【答案】2n【解析】当2n ≥时，1122332211()()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+-+L ，2(211)(21)(23)(25)5312n n n a n n n n -+⇒=-+-+-++++==L ，当1n =，1a 也适用，所以2n a n =．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*16,,N n n n n a a S S +∀∈>≥．请写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =________．【答案】*6()N n n -∈（答案不唯一）【解析】*1,n n n a a +∀∈>N ，则数列{}n a 是递增的，*6,n n S S ∀∈≥N ，即6S 最小， 只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{}n a 的一个通项公式n a =*6()N n n -∈（答案不唯一）． 16．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()())1(n a f n f n n =++∈*N ，则数列{}n a 的 前40项之和40S =__________． 【答案】1680【解析】函数()2πcos2xf x x =且数列{}n a 中，()()1n a f n f n =++， 可得()()112044a f f =+=-=-；()()223404a f f =+=-+=-；()()33401616a f f =+=+=；()()44516a f f =+=； ()()55603636a f f =+=-=-；()()66736a f f =+=-；…，可得数列{}n a 为4-，4-，16，16，36-，36-，64，64，100-，100-，…， 即有数列{}n a 的前40项之和：()()()4044161636366464100100144144S =--+++--+++--+++ ()1444144416001600245688312⋅⋅⋅+--++=+++⋅⋅⋅+()1102431216802=⨯⨯+=， 本题正确结果1680．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且满足：111a b ==，2324b b a +=，3235a b -=-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）12,n n a n -*=∈N ，21,n b n n *=-∈N ；（2）221n n S n =+-．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知，有2(1)(12)43(1)5d d q q d +++=⎧⎨-+=-⎩，即243232q d q d -+=-⎧⎨-=-⎩24402q q d q ⇒-+=⇒==， 所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ，{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ．（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--．18．（12分）己知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()21122n S n n n =+∈*N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前100项和．【答案】（1）n a n =；（2）100100101T =． 【解析】（1）当2n ≥时，21122n S n n =+，2211111(1)(1)2222n S n n n n n -=-+-=+-， 两式相减得1n n n a S S n -=-=，当=1n 时，1111122a S ==+=，满足n a n =，n a n \=． （2）由（1）可知111(1)1n b n n n n ==-++，所以数列{}n b 的前100项和10012100T b b b =++?111111112239910010010111001101101L 骣骣骣骣琪琪琪琪=-+-++-+-琪琪琪琪桫桫?=-=． 19．（12分）已知数列{}n a 满足：123a =-，()12334n n n a a n a +--=∈+*N ． （1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：()31nn n b n a =∈+*N ，求{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，113n a n =-；（2）2219344n n n S +-=⨯+． 【解析】（1）因为1231113434n n n n n a a a a a +--++=+=++，所以111341311n n n n a a a a +++==+++，所以11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为3，公差为3的等差数列，所以131n n a =+，所以113n a n =-． （2）由（1）可知：113n a n=-，所以由()1133n n n n n b n n b a +=∈+⋅=⇒*N ， 2311323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ①； 341231323(1)33n n n S n n ++=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②，①-②得()22312233123333331n n n n nS n n +++--=+++-⨯=-⨯-L 2219344n n n S +-⇒=⨯+． 20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S 221n n a n =--． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令212n n n b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T 及n T 的最小值．【答案】（1）()1522n n a n -=⨯-∈*N ；（2）125252n n n T -+=-⨯，最小值35． 【解析】（1）当n =1时，111221a S a ==--，解得13a =， 当2n ≥时，11222n n n n n a S S a a --=-=--，解得12 2n n a a -=+． 则()1222n n a a -+=+，故{}2n a +是首项为125a +=，公比为2的等比数列，()1522n n a n -∴=⨯-∈*N ．（2）12111(21)252n n n n b n a Q -+==⨯+⨯+，则012113572152222n n n T -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭， 12311135721212522222n n n n n T --+⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭两式作差得12111222212513125222252n n n n n n T -⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-=⨯+++⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以125252n n n T -+=-⨯， 令12552n n n c -+=⨯，有112725230525252n n n n nn n n c c +-++---=-=<⨯⨯⨯，对n ∈*N 恒成立， 则数列{}n c 是递减数列，故{}n T 为递增数列，则min 13()5n T T ==．21．（12分）已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1），12222,2,n n n n n b n b b n +-⎧=⎪=⎨⎪=⎩是奇数是偶数；（2）()()3312,23121,2n n n n n n T n n n -⎧-+⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩是奇数是偶数． 【解析】（1）当时，，即，，由()211212n n n n n n S S a S S a n ++-+=+=≥⎧⎪⎨⎪⎩，可得，即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，由()111222n n n n n n b b b b n +--==≥⎧⎪⎨⎪⎩两式相除，得()1122n n b n b +-=≥， 是奇数时，是公比是，首项的等比数列，122n n b +∴=， 同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，222n n b -∴=，综上：12222,2,n n n n nb n b b n +-⎧=⎪=⎨⎪=⎩是奇数是偶数． （2），即，令的前项和为，则0121123122232221222322n n nn A n A n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⎧⋅⋅⋅+⋅⎪⎨⎪⎩， 两式相减得01211222222212nn nn n A n n ---=+++-⋅=-⋅-，，令的前项和为n B ，3,231,2n nn B n n ⎧⎪⎪∴=⎨-+⎪⎪⎩是偶数是奇数，综上：()()3312,23121,2nn n n n n T n n n -⎧-+⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩是奇数是偶数．21 22．（12分）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->．（1）讨论()f x 的单调性；（2）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n ∈*N 且)2n >，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x a f x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩， 当0x a <<时，1()10f x x'=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小． ①若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增；②若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增．（2）由（1）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-． 所以222222222ln 2ln 3ln 1111112323n n n+++<-+-+-L L 22211111111232334(1)n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+++<--+++ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭⎝⎭L L 1111(1)212(1)n n n n n -⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++．。