由式
T
Ip
可知，在ρ＝R 即圆截面
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
TR Ip
T Ip
T
Wp
R
式中Wp为抗扭截面 系数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
扭转失效与扭转极限应力 ❖ 扭转试验表明： ➢ 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面
在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为
τδdydx。
顶面与底面的两个力所构成
的力偶之矩为τ’δdxdy。 微体平衡，则 τ = τ’。
➢纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
剪切虎克定律 ： τ＝G γ
在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材
（2）强度校核
max,1
16T1
D13
1
d1 D1
4
16( 150N m )
0.0243
1
0.018 0.024
4
8.088 107
Pa
80.88MPa
max,2
D23
16T2
1
d2 D2
4
16( 100N
0.0223
1
m) 0.018 0.022
4
8.67 107
工程力学
彭雅轩 2020年11月3日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。
第一节 引 言
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。
Pa
86.7 MPa
Τmax,1与τmax,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。
例3 某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力［τ］ ＝50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其 重量。
（1）实心圆截面轴； （2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。 解： （1）确定实心轴的直径
扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。
第一节 引 言
轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第一节 引 言
扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。
第二节 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩之间的关系
功率P=Mω，又 1W=1N·m/s
于是上式变为
P*103=M*2πn/60
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
()＝
Mx
Ip
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max=
Mx
Wp
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
强度条件：
max
T WP
max
对于等截面圆轴 ：
max
Tm ax WP
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
T1 M2 2819N m T2 M 3 4238N m
(3)按强度条件求直径 ：
M2 B
d1 M1
A
d2 M3
C
2
1
3
max
T WP
max
又
Wp
d 3
16
d13 16
T1
所以
d1 3
16T1
3
16 2819 3.14 70 106
0.059m 59mm
同理
d2 3
Mx
16 Mx
例 max=
Wp2
=
=40 MPa
D23(1- 4)
题3
16 716.2
D2 = (1- 0.5 4) 40 106=0.045 m=45 mm
4
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 A2
d12
= D22(1- 2)
=1.28
第六节 圆轴扭转变形与刚度条件
圆轴扭转变形 ：轴的扭转变形，用横截面间绕轴线
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： ➢ 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
M2 B
d1 M1
A
d2 M3
C
M1
9550 P1 n
9550 368 8.3 60
7057N
m
M2
9550 P2 n
9550 147 8.3 60
2819N m
2
1
3
M3
9550 P3 n
9550 221 8.3 60
4238N
m
(2)求扭矩
T1 M 2 2819N m
T2 M 3 4238N m
4
空心轴比实心轴省材料
例2 下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受扭 力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。
解：（1）问题分析
绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为
T1=150N.m T2=100N.m
的相对角位移即扭转角φ表示。
相距l的两横截面间的扭转角为
Tl
GI P
上式表明，扭转角φ与扭矩T、轴长l成正比，与GIP 成反比。
扭转刚度：乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度， 或简称为扭转刚度。
第六节 圆轴扭转变形与刚度条件
圆轴扭转刚度条件 ：
T GIP
m
ax
第二节 动力传递与扭矩
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从P=3动=802轮G221P、ak。W3分试，别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
（3）重量比较
由于空心及实心圆轴的长度及材料均相同，所以，二者的 重量比等于其横截面面积之比，即
＝
d02 di2 4
4
d
2
0.0762 0.0682 0.0542
0.395
上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。
例题
例 题 4
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
例题
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
例题
解（1）扭力偶矩计算
MA
9549 PA n
9549 4 500
76.4N m
MB
9549 PB n
9549 10 500
191N m
MC
9549 PC n
9549 6 500
114.6N m
（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则
T1 M A 76.4N m T2 -M C -114.6N m
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认为均匀分布 。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力 设圆管的平均半径为Ro，壁厚为δ，微剪力对轴
线O的力矩为Ro․τδRodθ 。
由 此 得
M Nm
9549
PkW nr
min
若转速n的单位为r/s,
则
M Nm
159.2
PkW nr
s
式中：
P=Mω—功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（千瓦）；
M—力偶矩，单位为N·m（牛顿·米）；
ω—相应角速度；
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 ❖ 扭转变形的内
力： —扭矩。 ❖ 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。