矩阵的合同变换令狐文艳摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。

在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q =。

此时711T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T mn m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。

所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1AB B P AP -=又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q EPP E --==从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----=1QP -∴为正交矩阵所以A B 且A B ≅定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A = 所以B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-12000n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关⇔n阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用例 求一非线性替换，把二次型 二次型`23(,,)f x x x 矩阵为对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换 可把二次型化为标准型 解法（2）此时2221231231(,,)262f x x x z z z =-+此时非线性退化替换为发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型 解：222112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+ 对二次型矩阵为10060060001099963300000022236399000336012211001111210101022101001010201001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212f y y =+，则11223310101x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ [注]当P 改变两行的位置交换后，发现定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。

证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。

[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？ 例4．求实对称矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求可逆阵P 使得T P AP为对角阵121121100P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们得到11T P AP B = 定理7：设,T P AP B A = 对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11T P AP B =，即P 的列与B 中元素的对应性。

证明：初等调换矩阵为J ，显然T J J =P ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与B 的对角线上元素具有对应性自己写例定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得222T P AP B =证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J个元素1C ）形1221C J C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有22222()T T B J BJ J J == 2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P 中对角线J个元素是P 中对角线元素CJ 倍。

例：已知对称矩阵1211211311311310A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦求可逆矩阵P ，使T P AP且对角形式解10111001031103111131012211101120A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦对单位阵E 进行相应列初等变换得11223101030011001E P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则有1313733T P AP ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则此时有111223100300100P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎢-⎢⎣得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。

主要参考文献[1]北大数学系，高等代数第二版[2]上海交大线性代数编写。

线性代数（第三版）[M] [3]张禾瑞 高等代数[M][4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154矩阵的合同变换及性质定义：设A ，B 是数域F 上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立，那么 B 与A 合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。

引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J 对角阵 证明：①数学归纳法 当1n =时，定理显然成立设1n >时，定理对1n -阶对称阵成立，A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠（1）讨论A 的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得这里1A 是1n -阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n -阶可逆阵1a ，使211100T c Q A Q cn ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦现取1211000,0s Q P E EE Q Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则111121122111000000T T TT T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）若0,1,2,,ii a i n ==，由0A =，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i 的情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型12(,,)T n f x x x x AX=化简，一般都归结为对称实矩阵A 的合同变换在特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性定理1：若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A 的合同变换矩阵。

特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈例：已知实对称矩阵0100100000210012A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求可逆矩阵P ，使()()T AP AP 为对角矩阵解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =，可见为使()()T AP AP 为对角矩阵，实质上是使0000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同于对角矩阵 故可逆矩阵21000100001000100400500015900000015T P P A P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）10000100000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣当 定理3：设,T P AP B A =为对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 的对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调换P 中对应两列，可得到1P ，使得7111P AP B =，即P 的列与的列与B 具有对应性。

说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J ，显然1T J J =，P ∴与11P PJ =相比， 列的排列顺序不同，因此，P的列与B 的对角线上元素具有对应性。

特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。

定理4：若要将B 的对角线上第j 个元素扩大2C 得到2B ，则只要得P 中对应第j 列扩大c 倍，即得到2P ，使得222T P AP B =证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 的对角线上第j 个元素为c ，其余为1）显然122J J =2B ∴中的第j 个元素B 的我们发现j 合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的二、合同变换的本质在n 阶实对称阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则(,)a S A B 有表示为A 到B 的合同变换矩车构成的集合。