矩阵的合同变换
令狐文艳
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ?
定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似
A B
定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =
那么就说，在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即
12
m P Q Q Q =。
此时71
1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111
T T T T m
n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变
换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A
B B P AP -=
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同
论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为
A 与
B 实对称矩
阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得
从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q E
PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----=
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ?
定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = 所以B 边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则
||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200
0n x x x ????????
????=????
??????
??，线性无关的解向量个数为
n r -个，即
5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
?n
阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ?n
阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型 二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换 可把二次型化为标准型 解法（2）
此时2221231231(,,)262
f x x x z z z =-+
此时非线性退化替换为
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型 解：222112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+ 对二次型矩阵为
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012211
00111
12
101010
2210100
101
02
010
010
01A E ??????????
????--??????-??
??????--?
??????????---
????=→
→→??????
?????????????????
????
??
?????
???????
????
?????
?
E B ??=???????
标准形
22
12f y y =+
，则1122331010
1
x y x y x y ?????????????=????????????????
?????
? [注]当P 改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然
T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有
()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====
而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？ 例
4．求实对称矩阵2
2
02120
2
0A -??
?
?=--????-??
求可逆阵P 使得T P AP
为对角阵
12
1
12110
0P -??
??=-??
????
我们得到11T P AP B = 定理7：设,T P AP B A = 对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11T P AP B =，即P 的列与B 中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J ，显然T J J =
P ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与
B 的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得
222T P AP B =
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J
个元素1C ）形1221C J C ??
??=??????
，则有22222()T T B J BJ J J == 2B ∴中第
J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P 中对角线J
个元素是P 中对角线元素CJ 倍。
例：已知对称矩阵1211211
31131131
0A -??
??-?
?=???
?--??
求可逆矩阵P ，使T P AP
且对角形式
解101110
010
3110311113101221
1
1
011
2
0A --????????------?
??
?→→????--???
?----????
对单位阵E 进行相应列初等变换得
1122310
10300
110
01E P ??--
????
??-→=??
??
-??????
则有1313733T P AP ??
??-??
==??????
-????
则此时有11122
310
0300100
P ?
?--??????-??
?
?=??
-??
??-??
得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
[1]北大数学系，高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）[M] [3]张禾瑞 高等代数[M]
[4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》
[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154
矩阵的合同变换及性质
定义：设A ，B 是数域F 上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立，那么 B 与A 合同
特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。 引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J 对角阵 证明：①数学归纳法 当1n =时，定理显然成立
设1n >时，定理对1n -阶对称阵成立，A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠
（1）讨论A 的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得
这里1A 是1n -阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n -阶可逆阵1a ，使2
11100
T c Q A Q cn ??
=?
???
现取12
1
1
000,0
s Q P E E
E Q Q ????
??==??????
则1111
2112
2
1110
00000T T T
T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ????
??????===??????????
????
（2）若0,1,2,,ii a i n ==，由0A =，可通过对应的行列初等变
换，使问题归结到i 的情怀
合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型12(,,
)T n f x x x x AX
=化简，一般都归结为对
称实矩阵A 的合同变换在
特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性
定理1：若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A 的合同变换矩阵。
特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈
例：已知实对称矩阵01001
000002100
1
2A ?????
?=??????
求可逆矩阵P ，使
()()T AP AP 为对角矩阵
解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =，可见为使()()T AP AP 为对角
矩阵，实质上是使00000
10000540
045A ?????
?=??
????
合同于对角矩阵 故可逆矩阵2100
01
000010001004005000159000
00015T P P A P ?????????
??
?==?
???-???
?????????????
（2
）100
00100
000
P ?????
???=???????
当 定理3：设,T P AP B A =为对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 的对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调换P 中对应两列，可得到1P ，使得7111P AP B =，即P 的列与的列与B 具有对应性。
说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J ，显然1T J J =，
P ∴与11P PJ =相比， 列的排列顺序不同，因此，P
的列
与B 的对角线上元素具有对应性。
特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。
定理4：若要将B 的对角线上第j 个元素扩大2C 得到2B ，则只要得P 中对应第j 列扩大c 倍，即得到2P ，使得222T P AP B =
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 的对角线上第j 个元素为c ，其余为1）显然122J J =
2B ∴中的第
j 个元素B 的
我们发现j 合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的
二、合同变换的本质
在n 阶实对称阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则(,)a S A B 有表示为A 到B 的合同变换矩车构成的集合。
引理1：假设实对称矩阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则1()c S A B 为群
证明：对于任意的12(,),(,)c c P S A B P S A B ∈∈，则存在
1020(,),(,)C S A B C S A B ∈∈，使得111122,P c c P c c --==因此11
12122(),PP c c P c c --==，因此1111121212()()()PP c c c c c c c c ----=?=?，而
11111111111111121221112222222()()()()c c c A c c c c c c Ac c c c c Bc c c Ac c Ac B ------=====，则
1120(,)c c c S A B -∈所以12(,)c P P S A B ?∈亦即有(,)c S A B ，关于矩阵乘法封
闭，易知(,)c s A B 关于矩阵乘法满足结合律，有单位矩阵，下设每个元素都有逆远，假设(,)c P S A B ∈存在10(,)C S A B ∈，使得
11P c c -=，所以11111()p c c c cc c ----==，因
11111111111111111()()()()cc A cc c c c c Acc c c c Bc c c Ac B ------====，则110(,)cc c S A B -∈所以11(,)c c c S A B -∈即1(,)c P S A B -∈，综上所述(,)c S A B 成群
注：10(,){|,,S A B c c AC B A B ==为已知的实对称矩阵}，c 为可逆复矩阵，11010(,){|(,),(,)}c S A B c c c S A B c S A B =∈为中任一给定矩阵
引理2：假设实对称阵A 和B 正负惯性指标都一样，则
(,)c S A B 有表示为1(,){|,}c S A B m m BM B m ==为可逆阵
证明：
110(,)(,)(),,.c m S A B cm S A B cm Acm B mJ M BM B M ∈?∈?=?=连可逆
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q = 。 此时711T T T m n P Q Q Q -= 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得 112[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对 称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。 此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系 列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵
从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以 A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-
矩阵的合同变换 摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成Ｂ,则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2:设A ，B 都是数域F 上的ｎ阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B 定义3：设A,Ｂ都是数域Ｆ上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个ｎ阶可逆矩阵P,使得T P AP B = 那么就说,在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?， 从而知合同变换是等价变换。 定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩 证明:由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理３：相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- ??? 1||||||P I A P λ-=- ? ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理４:如果Ａ与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12 ,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩阵， ,Q P 使得 11 2[]Q AQ λλ-= 11[]n P BP λλ-= 从而有11Q AQ P BP --=
龙源期刊网 http://biz.doczj.com/doc/4b13834621.html, 矩阵的秩变换、相似变换与合同变换的联系作者：田洋 来源：《计算机光盘软件与应用》2012年第19期 摘要：本文应用理论研究的方法，将矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换转换到线性变换当中去，讨论了矩阵的这三种变换之间的联系与区别，并给出证明，对矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换的异同点做出一个综述性的描述。 关键词：初等变换；相似变换；合同变换；线性变换 中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 19-0000-02 1 绪论 矩阵的秩变换、相似变换以及合同变换是高等代数中的基本概念，也是解决某些问题的重要工具，有着十分广泛的应用领域.而矩阵的每一种变换都对应着一个线性变换，因此，在讨 论矩阵的这三种变换时，将其引入到线性变换当中去，进一步分析讨论三种变换之间的联系与区别，加深对线性变换知识的理解与掌握.本文采取理论研究的方法，将秩变换的问题归结到 初等变换上，并对三种变换之间的联系与区别做一个综述性的描述。 2 矩阵的初等变换 定义1 矩阵的行（列）初等变换即对矩阵施行下列变换： （1）交换矩阵的两列（行）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一列（行），也就是用一个不等于零的数乘矩阵的某一列（行）的每个元素；（3）用某一数乘矩阵的某一列（行）后加到另一列（行），也就是用某一数乘矩阵的某一列（行）的每个元素后加到另一列（行）的对应元素上。 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 证明：我们对一个事实先做出一个说明：如果对于一个矩阵实施某一种行或者列初等变 换而得到一个矩阵，那么对矩阵施行同一种初等变换又可以得到矩阵 .在这里我们给出一个命题，把行列式的某一列（行）的元素乘以同一个数后加到另一列（行）的对应元素上，行列式是不变的。
什么是线性代数中的合同？惯性定律？ “合同”是矩阵之间的一种关系。两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。按照 它可以对n阶方阵的全体进行分类。对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。 ①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。 ②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。 结果②就是“惯性定理”。 一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确? 不对，反例： 1 2 2 1 只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即：A正定 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
矩阵的合同变换 令狐文艳 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似 A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即 12 m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111 T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变 换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为 A 与 B 实对称矩 阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得 从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q E PP E --== 从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---= 又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1QP -∴为正交矩阵 所以A B 且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数. 证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则 ||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200 0n x x x ???????? ????=???? ?????? ??，线性无关的解向量个数为
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
合同中各方及相互关系 建设项目实施阶段，参与单位很多，一般有雇主、勘测设计单位、承包商、工程师、贷款单位、设备供应商、材料供应商、保险公司、政府机构等。在工程实施合同中所涉及的主要雇主、承包商和工程师单位。 一、雇主、承包商和工程师之间的关系 雇主是建设项目的法人和责任主体，负责对项目的策划、资金筹措、建设实施、生产经营、债务偿还和资产的保值增值，实行全过程负责。通过招标投标，择优选择承包商和工程师单位，并与中标单位签订合同，通过合同文件规定合同各方的权利、责任、义务、风险。雇主与承包商签订合同，按合同向承包商支付应支付的资金，并取得工程。雇主与工程师签订监理合同，向工程师单位授权，工程师按照授权，对合同进行管理，控制工程的进度、质量和投资，协调各方关系等，向工程师单位支付合同规定的费用。 承包商是雇主通过招标所选定承建工程项目的施工单位，它与雇主已签订合同。承包商应按照合同规定，实施工程项目的施工、修补工程的任何缺陷，并获得按合同规定应得到的资金，包括应得到的利涧。承包商应接受工程师的监督和管理，严格执行工程师的指令，并只从工程师处取得指令。 工程师在雇主的授权范围内进行合同管理，履行监理合同中规定的权利、责任、义务。工程师不是合同的当事人，无权修改合同，也无权解除合同任何一方的任何职责、义务、责任。工程师应按照合同
规定向承包商发布指令，承包商应严格按照工程师的指令进行工作。工程师可按照合同对某些事宜作出决定，在决定前应与雇主和承包商达成一致意见，如不能达成一致意见，应做出一个公平、公正、合理的决定。雇主和承包商都应遵守工程师做出的决定，如不同意，可以在执行的同时提出索赔、诉讼或仲裁。 在履行合同中，有关各方的团结协作是非常重要的，团结协作是合同的标的（工程项目）实现的重要保证，应该尽可能的密切配合，互相支持，互相理解，友好的解决合同中产生的矛盾和争端，使工程项目按时保质保量的建成。 合同各方的最终目的是一致的，就是按照合同要求完成工程项目。对雇主来说，尽快投产，取得工程应取得的效益；对承包商来说，一方面得到一定的经济收益，另一方面也创造了声誉，取得了经验和资历，培养了人才，为今后市场打下了基础；对工程师来说，同样也是经济和信誉的双丰收。 雇主在合同各方关系中，在形成团结协作和创造一个和谐工作环境上，负有首要的责任和起着主导的作用；工程师也应充分发挥协调作用；承包商严格按照合同办事，履行职责；各方努力避免扩大矛盾，尽量把矛盾及时解决。
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用 摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。 关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同 引言 随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。 一、矩阵的三种关系 1）矩阵的等价关系 定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件： （1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵； （2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。 性质： （1）反身性：即A ≌A ； （2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ； （3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ； 2）矩阵的合同关系 定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。 （2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。
矩阵等价相似合同的关系 等价指的是两个矩阵的秩一样。 合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。 相似是指两个矩阵特征值一样。 相似必等价，合同必等价。 1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。 2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。 原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE| 所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP 3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。可通过X=CY变换，即把X=CY带入， 于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。 首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。 而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。 相似必合同，合同必等价。 等价就是矩阵拥有相同的r。 矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同。
矩阵n次方的几种求 法的归纳
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 矩阵n 次方的几种求法 1.利用定义法 () () ,,ij kj s n n m A a B b ??==则() ,ij s m C c ?=其 1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ 1 n ik kj k a b ==∑称为 A 与 B 的乘积，记为，则由定义可以看出 矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。 例 1:已知矩阵34 125310210134A ??? ? =- ? ???，44 5 130621034510 200B ??? ? ? = ? ? ??，求 解：设C AB ==()34ij c ?，其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知： 111526533032c =?+?+?+?=121122543231c =?+?+?+?= 131321553030c =?+?+?+?=14102051305c =?+?+?+?= 21150623101c =-?+?+?+?= 22110224129c =-?+?+?+?=
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 23130125107c =-?+?+?+?= 24100021102c =-?+?+?+?= 310516334015c =?+?+?+?= 320112344222c =?+?+?+?= 330311354016c =?+?+?+?= 34001031403c =?+?+?+?= 将这些值代入矩阵C 中得： C AB ==34 323130519721522163??? ? ? ??? 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。 2.利用矩阵的分块来求解 这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设()(),,ij kj s n n m A a B b ??==把 A ， B 分解成一些小矩阵： 1111 l t tl A A A A A ?? ?= ? ???K M O M L ，1111 r l lr B B B B B ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中ij A 是i j s n ?小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，
第六章二次型 §1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形 §3 二次型与对称矩阵的正定性
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵
定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式 () n x x x f ,,,21 n n x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221 112222+++++= n n x x a x x a x x a x a 224224322322 22222+++++ 2n nn x a +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。 n n x x a x x a x a 33433423 3322++++
22212111222 121213131,12111 12121122121222 2221122,1 222(,,,)n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x --==++ +++++=++++++++ ++++= ∑i j j i ij i j i j i j j i i j
22212111222 121213131,12111 12121122121222 2221122,1 222(,,,)n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x --==++ +++++=++++++++ ++++= ∑i j j i ij i j i j i j j i i j
什么是合同矩阵 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B. 一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。 相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。 定义 合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 则称方阵A与B合同，记作A?B。 在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。 性质 合同关系是一个等价关系，也就是说满足： 1、反身性：任意矩阵都与其自身合同； 2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A； 3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C； 4、合同矩阵的秩相同。 矩阵合同的主要判别法： 设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。 正定二次型 主条目：正定二次型 半正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。 一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。 正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。 一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。 同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。 合同矩阵发展史 1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
目录 摘要 (1) 1引言 (2) 2矩阵间的三种关系 (2) 2.1 矩阵的等价关系 (2) 2.2 矩阵的合同关系 (3) 2.3. 矩阵的相似关系 (3) 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4) 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6) 4.1矩阵等价的应用 (7) 4.2矩阵相似的应用 (9) 4.3矩阵合同的应用 (9) 4.4三种关系在概率统计中的应用 (10) 5结论 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13)
摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字： 矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？ 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ = 矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质： （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ?. （3）传递性：若A B ?，B C ?，则A C ?. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） (5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于???? ??00 0r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ， 使 ???? ??=00 0r E PAQ . (6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于????? ? ?n λλ0 *1 其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值. 定理2.2.1： 若A 为m n ?矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质： 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似?等价：~A B ?A,B 同型且()()r A r B A B =?? ②合同?等价：,A B A B ?同型且()()r A r B A B =?? ③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B 均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当 ~A B 时， ||||E A E B λλ-=-?二次型()T f x X AX =与()T g x X BX =有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数A B A B ??? 即有~A B A B A B ??? Ⅱ、存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A B 则有