矩阵的合同变换
令狐文艳
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅
定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似
A B
定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =
那么就说，在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即
12
m P Q Q Q =。
此时71
1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111
T T T T m
n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变
换得到。所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A
B B P AP -=
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同
论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为
A 与
B 实对称矩
阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得
从而有11Q AQ P BP --= 由11Q Q E
PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----=
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ≅
定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A = 所以B 边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则
||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200
0n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，线性无关的解向量个数为
n r -个，即
5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
⇔n
阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n
阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型 二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换 可把二次型化为标准型 解法（2）
此时2221231231(,,)262
f x x x z z z =-+
此时非线性退化替换为
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型 解：222112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+ 对二次型矩阵为
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012211
00111
12
101010
2210100
101
02
010
010
01A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---
⎢⎥⎢⎥=→
→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢
⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥
标准形
22
12f y y =+
，则1122331010
1
x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ [注]当P 改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然
T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有
()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====
而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？ 例
4．求实对称矩阵2
2
02120
2
0A -⎡⎤
⎢
⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
求可逆阵P 使得T P AP
为对角阵
12
1
12110
0P -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
我们得到11T P AP B = 定理7：设,T P AP B A = 对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11T P AP B =，即P 的列与B 中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J ，显然T J J =
P ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与
B 的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得