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人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)一、初三数学 圆易错题压轴题(难)1.如图,二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ,且经过点(m ,9m ),⊙E 过A 、B 、C 三点。

(1)求这条抛物线的解析式;(2)求点E 的坐标;(3)过抛物线上一点P (点P 不与B 、C 重合)作PQ ⊥x 轴于点Q ,是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由【答案】(1)y=x 2+2x-8(2)(-1,-72)(3)(-8,40),(-154,-1316),(-174,-2516) 【解析】分析:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=,解这个方程可求出m 的值;(2)分别令y =0和x =0,求出OA ,OB ,O C 及AB 的长,过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ,列方过程求出a 的值,从而求出点E 的坐标;(3)设点P (a , a 2+2a -8), 则228,2PQ a a BQ a =+-=-,然后分PBQ ∽CBO 时和PBQ ∽BCO 时两种情况,列比例式求出a 的值,从而求出点P 的坐标.详解:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=解得:121,0m m =-=(舍去)∴228y x x =+-(2)由(1)可得:228y x x =+-,当0y =时,124,2x x =-=;∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ,== ,∴6AB OA OB =+=,当0x =时,8y =-,∴8OC =过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,, 则116322AG AB ==⨯= ,设,则,在Rt AGE ∆中,,在中, ()222218CE EF CF a =+=+-,∵AE CE = ,∴()22918a a +=+- , 解得:72a = , ∴712E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ; (3)设点()2,28a a a P +-,则228,2PQ a a BQ a =+-=-,a.当PBQ ∆∽CBO ∆时, PQ CO BQ OB =,即228822a a a +-=-, 解得:10a =(舍去);22a =(舍去);38a =- , ∴()18,40P - ;b.当PBQ ∆∽BCO ∆时,PQ BO BQ CO =,即228228a a a +-=-, 解得:12a =(舍去),2154a =-;3174a =- , ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭;31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭, ; 综上所述,点P 的坐标为:()18,40P -,21523,416P ⎛⎫--⎪⎝⎭,31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 点睛:本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数与坐标轴的交点,垂径定理,勾股定理,相似三角形的性质和分类讨论的数学思想,熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2.在直角坐标系中,A (0,4),B (4,0).点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动,同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0).过点C 作CE ⊥BO 于点E ,连结CD 、DE .⑴ 当t 为何值时,线段CD 的长为4;⑵ 当线段DE 与以点O 为圆心,半径为的⊙O 有两个公共交点时,求t 的取值范围; ⑶ 当t 为何值时,以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切?【答案】(1); (2) 4-<t≤; (3)或.【解析】 试题分析:(1)过点C 作CF ⊥AD 于点F ,则CF ,DF 即可利用t 表示出来,在Rt △CFD 中利用勾股定理即可得到一个关于t 的方程,从而求得t 的值;(2)易证四边形ADEC 是平行四边形,过点O 作OG ⊥DE 于点G ,当线段DE 与⊙O 相切时,则OG=,在直角△OEG中,OE可以利用t表示,则OG也可以利用t表示出来,当OG<时,直线与圆相交,据此即可求得t的范围;(3)分两圆外切与内切两种情况进行讨论,当外切时,圆心距等于两半径的和,当内切时,圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径,列出方程即可求得t的值.(1)过点C作CF⊥AD于点F,在Rt△AOB中,OA=4,OB=4,∴∠ABO=30°,由题意得:BC=2t,AD=t,∵CE⊥BO,∴在Rt△CEB中,CE=t,EB=t,∵CF⊥AD,AO⊥BO,∴四边形CFOE是矩形,∴OF=CE=t,OE=CF=4-t,在Rt△CFD中,DF2+CF2=CD2,∴(4-t-t)2+(4-t)2=42,即7t2-40t+48=0,解得:t=,t=4,∵0<t<4,∴当t=时,线段CD的长是4;(2)过点O作OG⊥DE于点G(如图2),∵AD∥CE,AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形,∴DE ∥AB∴∠GEO=30°,∴OG=OE=(4-t )当线段DE 与⊙O 相切时,则OG=,∴当(4-t )<,且t≤4-时,线段DE 与⊙O 有两个公共交点. ∴当 4-<t≤时,线段DE 与⊙O 有两个公共交点;(3)当⊙C 与⊙O 外切时,t=; 当⊙C 与⊙O 内切时,t=; ∴当t=或秒时,两圆相切.考点:圆的综合题.3.如图,矩形ABCD 中,BC =8,点F 是AB 边上一点(不与点B 重合)△BCF 的外接圆交对角线BD 于点E ,连结CF 交BD 于点G .(1)求证:∠ECG =∠BDC .(2)当AB =6时,在点F 的整个运动过程中.①若BF =22时,求CE 的长.②当△CEG 为等腰三角形时,求所有满足条件的BE 的长.(3)过点E 作△BCF 外接圆的切线交AD 于点P .若PE ∥CF 且CF =6PE ,记△DEP 的面积为S 1,△CDE 的面积为S 2,请直接写出12S S 的值.【答案】(1)详见解析;(2)①1825;②当BE 为10,395或445时,△CEG 为等腰三角形;(3)724. 【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得出∠ABD =∠BDC ,根据圆周角定理得出∠ABD =∠ECG ,即可证得结论;(2)根据勾股定理求得BD =10,①连接EF ,根据圆周角定理得出∠CEF =∠BCD =90°,∠EFC =∠CBD .即可得出sin ∠EFC=sin ∠CBD ,得出35CE CD CF BD ==,根据勾股定理得到CF =CE ; ②分三种情况讨论求得: 当EG =CG 时,根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC =∠GCE =∠ABD =∠BDC ,从而证得E 、D 重合,即可得到BE =BD =10;当GE =CE 时,过点C 作CH ⊥BD 于点H ,即可得到∠EGC =∠ECG =∠ABD =∠GDC ,得到CG =CD =6.根据三角形面积公式求得CH =245,即可根据勾股定理求得GH ,进而求得HE ,即可求得BE =BH +HE =395; 当CG =CE 时,过点E 作EM ⊥CG 于点M ,由tan ∠ECM =43EM CM =.设EM =4k ,则CM =3k ,CG =CE =5k .得出GM =2k ,tan ∠GEM =2142GM k EM k ==,即可得到tan ∠GCH =GH CH =12.求得HE =GH =125,即可得到BE =BH +HE =445; (3)连接OE 、EF 、AE 、EF ,先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF =CE ,进而证得四边形ABCD 是正方形,进一步证得△ADE ≌△CDE ,通过证得△EHP ∽△FBC ,得出EH =16BF ,即可求得BF =6,根据勾股定理求得CF =10,得出PE =106,根据勾股定理求得PH ,进而求得PD ,然后根据三角形面积公式即可求得结果.【详解】(1)∵AB ∥CD .∴∠ABD =∠BDC ,∵∠ABD =∠ECG ,∴∠ECG =∠BDC .(2)解:①∵AB =CD =6,AD =BC =8,∴BD =10,如图1,连结EF ,则∠CEF =∠BCD =90°,∵∠EFC =∠CBD .∴sin ∠EFC =sin ∠CBD , ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG=CG时,∠GEC=∠GCE=∠ABD=∠BDC.∴E与D重合,∴BE=BD=10.Ⅱ、如图2,当GE=CE时,过点C作CH⊥BD于点H,∴∠EGC=∠ECG=∠ABD=∠GDC,∴CG=CD=6.∵CH=BC CD24 BD5⋅=,∴GH185 =,在Rt△CEH中,设HE=x,则x2+(245)2=(x+185)2解得x=75,∴BE=BH+HE=325+75=395;Ⅲ、如图2,当CG=CE时,过点E作EM⊥CG于点M.∵tan∠ECM=43 EMCM=.设EM=4k,则CM=3k,CG=CE=5k.∴GM=2k,tan∠GEM=2142 GM kEM k==,∴tan∠GCH=GHCH=tan∠GEM=12.∴HE=GH=12412 255⨯=,∴BE=BH+HE=321244 555+=,综上所述,当BE为10,395或445时,△CEG为等腰三角形;(3)解:∵∠ABC=90°,∴FC是△BCF的外接圆的直径,设圆心为O,如图3,连接OE、EF、AE、EF,∵PE是切线,∴OE⊥PE,∵PE∥CF,∴OE⊥CF,∵OC=OF,∴CE=EF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,EF=2FC,∴∠ABD=∠ECF=45°,∴∠ADB=∠BDC=45°,∴AB=AD=8,∴四边形ABCD是正方形,∵PE∥FC,∴∠EGF=∠PED,∴∠BGC=∠PED,∴∠BCF=∠DPE,作EH⊥AD于H,则EH=DH,∵∠EHP=∠FBC=90°,∴△EHP∽△FBC,∴16 EH PEBF FC==,∴EH=16 BF,∵AD=CD,∠ADE=∠CDE,∴△ADE≌△CDE,∴AE=CE,∴AE=EF,∴AF=2EH=13 BF,∴13BF+BF=8,∴BF=6,∴EH=DH=1,CF10,∴PE=16FC=53,∴PH4 3 =,∴PD=47133 +=,∴12773824S PDS AD===.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了矩形的性质,圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABC的边BC在y轴的正半轴上,点A在x轴的正半轴上,点C的坐标为(0,8),将△ABC沿直线AB折叠,点C落在x轴的负半轴D(−4,0)处.(1)求直线AB的解析式;(2)点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动,过点P作PQ⊥AB,交x轴于点Q,PR∥AC交x轴于点R,设点P运动时间为t(秒),线段QR长为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,点N是射线AB上一点,以点N为圆心,同时经过R、Q两点作⊙N,⊙N交y轴于点E,F.是否存在t,使得EF=RQ?若存在,求出t的值,并求出圆心N的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)132y x=-+(2)d=5t (3)故当 t=85,或815,时,QR=EF,N(-6,6)或(2,2).【解析】试题分析:(1)由C(0,8),D(-4,0),可求得OC,OD的长,然后设OB=a,则BC=8-a,在Rt△BOD中,由勾股定理可得方程:(8-a)2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标,然后由三角函数的求得点A的坐标,再利用待定系数法求得直线AB的解析式;(2)在Rt△AOB 中,由勾股定理可求得AB 的长,继而求得∠BAO 的正切与余弦,由PR//AC 与折叠的性质,易证得RQ=AR ,则可求得d 与t 的函数关系式;(3)首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ,NS ⊥EF 于S ,易证得四边形NTOS 是正方形,然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析:(1)∵C (0,8),D (-4,0),∴OC=8,OD=4,设OB=a ,则BC=8-a ,由折叠的性质可得:BD=BC=8-a ,在Rt △BOD 中,∠BOD=90°,DB 2=OB 2+OD 2, 则(8-a )2=a 2+42,解得:a=3,则OB=3,则B (0,3),tan ∠ODB=34OB OD = , 在Rt △AOC 中,∠AOC=90°,tan ∠ACB=34OA OC = , 则OA=6,则A (6,0),设直线AB 的解析式为:y=kx+b ,则60{3k b b +== ,解得:1{23k b =-= , 故直线AB 的解析式为:y=-12x +3; (2)如图所示:在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,OB=3,OA=6,则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ,255OA cos BAO AB ∠==, 在Rt △PQA 中,905APQ AP t ∠=︒=,则AQ=10cos AP t BAO=∠ ,∵PR ∥AC , ∴∠APR=∠CAB , 由折叠的性质得:∠BAO=∠CAB ,∴∠BAO=∠APR , ∴PR=AR ,∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°,∴∠PQA=∠QPR ,∴RP=RQ ,∴RQ=AR , ∴QR=12AQ=5t, 即d=5t; (3)过点分别作NT ⊥RQ 于T ,NS ⊥EF 于S ,∵EF=QR ,∴NS=NT ,∴四边形NTOS 是正方形,则TQ=TR=1522QR t = , ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=()() , 分两种情况,若点N 在第二象限,则设N (n ,-n ),点N 在直线132y x =-+ 上, 则132n n -=-+ , 解得:n=-6,故N (-6,6),NT=6,即1564t = , 解得:85t = ; 若点N 在第一象限,设N (N ,N ),可得:132n n =-+ , 解得:n=2, 故N (2,2),NT=2,即1524t =, 解得:t=815 ∴当 t =85,或815,时,QR =EF ,N (-6,6)或(2,2)。

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