函数过程性概念的发展Development of the ProcessConception of FunctionAuthor(s): Daniel Breidenbach, Ed Dubinsky, Julie Hawks and Devilyna Nichols一、引言 (4)二、函数的认识论（研究的理论体系） (5)三、研究方法及结果分析 (5)(一) 学校环境的结果 (5)1. WHAT IS A FUNCTION? (6)2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (6)(二) 计算机学习的效果 (7)1. WHAT IS A FUNCTION? (8)2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (8)3. FUNCTIONS IN SITUATIONS (9)四、函数教学方案的效果 (10)在教学治疗完成后，使用三个独立的工具来获得学生的对函数的新概念及其变化。

(10)(一) 研究工具 (10)1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (10)2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (10)3. FINAL EXAM (10)(二) 研究结果 (11)1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (11)2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (11)3. FINAL EXAM (12)五、结论与启示 (12)摘要我们在本文中的目标是提出两点。

首先，大学生，即使是那些已经参加过相当数量的数学课程的人，对函数概念依然没有很多的了解;其次，我们一直在发展的认识论理论指向了一种使用计算机的指导教学，这导致许多学生学习函数概念实质性改善。

他们可以形成一个函数的过程性概念，并能够使用它来解决数学问题。

在引言结束之后，我们在第二部分概述了我们的研究所基于的理论体系，并指出它如何适用于函数概念。

在第三到五部分中，我们提供了关于这项研究的具体细节，并描述了我们正在考虑的学生中出现的函数过程性概念的发展。

在最后一部分中，我们解释研究结果并得出相应的结论。

Abstract Our goal in this paper is to make two points. First, college students, even those who have taken a fair number of mathematics courses, do not have much of an understanding of the function concept; and second, an epistemological theory we have been developing points to an instructional treatment, using computers, that results in substantial improvements for many students. They seem to develop a process conception of function and are able to use it to do mathematics. After an introductory section we outline, in Section 2, our theoretical epistemology in general and indicate how it applies to the function concept in particular. In Sections 3, 4, and 5 we provide specific details on this study and describe the development of the function concept that appeared to take place in the students that we are considering. In Section 6 we interpret the results and draw some conclusions.一、引言我们认为，“理解函数概念”，如果它超越仅仅是操纵公式或使用维恩图，必须包括一个过程性的概念。

我们希望学生有能力通过构建一个转换（精神）对象的心理过程来解决某种情况。

我们不是第一个观察到一个过程性概念不是在我们文化中的人类自发产生的，也不是大量的学校教育就能在这方面有很大的影响。

参见Sfard（1987）和Even（1988）所做的研究。

我们在第三部分中给出的数据只是更加确认了这个结论。

我们在本文中的意图不仅仅是观察和分类学生学习函数的困难，我们试图从理论的角度来解释这些困难，并使用这种解释来设计教学方案。

根据我们的理论观点，学生似乎不能达到的一个学习函数主要要求是在他们的头脑中构建过程并使用它们来思考函数问题的能力。

我们的研究数据表明，以某种方式使用计算机似乎可以大体上对学生这样的构建能力有所提高。

我们展示他们不能在我们的教学指导之前对函数概念有所构建。

此外，我们提出这是他们的一种新的学习能力的体现，在教学指导后，他们可以成功地解决大大超过他们现阶段能力水平的数学问题。

我们运用的理论视角来组织和解释从我们的观察中获得的大量数据。

我们试图展示一些例子，说明学生如何通过理论分析来建构建概念，我们提出这是因为教学方案侧重于概念的构建。

我们认为研究结果支持我们的理论观点。

我们在本文中关注的学生，大部分是职前教师，主要是中学，但也有一些小学教师。

我们对函数的一些比对这样的学生通常要求或预期更复杂的理解感兴趣。

这些包括使用函数来分析合理复杂的情况，用复杂方式执行具有特定功能的操作（例如，用不同的分割域来组合或乘以两个函数），诸如保留属性如1-1的功能的理论问题，以及其域和范围是函数集的函数。

最后，我们指出，这不是一个孤立的实验。

我们的教学指导和我们所有的观察发生在两个离散数学的班级一学期课程的情况下。

有一本教科书，Baxter et al（1988），它支持我们的方法，这门课程已经在不同机构和不同导师的教学中在几个场合有所运用。

有大量关于学习函数概念的文献，我们参考Leinhardt et al（1990）进行调查。

我们的工作受益于对学生困难的研究，如Thomas（1969），Orton（1970），Herscovics（1982）和Vinner&Dreyfus（1989）；函数概念的分类法，如Lovell（1971）和Dreyfus&Eisenberg（1983）;考虑课程排序，如Buck（1970）和Freudenthal （1982）;理论分析如SfaFd（1987）;由Schoenfeld（1990）等人开发的微观世界，以及多个表示的研究，如Kaput（1987）。

我们非常依赖Piaget对函数概念（Piaget，1977）和他的关于函数整体理论的基本研究。

他研究从4岁到14岁的学生，并对函数概念、因果关系和他所谓的操作的概念之间的认识论关系感兴趣，主要（但不是唯一地）涉及形式f（x）= ax的非常简单的函数，并试图说明这样的函数如何导致比例的概念。

我们的工作与皮亚杰不同，我们关心的是年龄较大的学生，以及教学设计、实施和评估。

我们在这一领域的工作开始于Ayres（1988）与Dubinsky和Lewin（1986）和Dubinsky et al（1989）等人。

本研究中的学生主要是二年级和初级数学专业，准备成为高中，中学或小学数学教师。

在开始课程之前，他们已经接受了相当数量的本科数学，包括完整的计算序列。

他们在数学上的表现可能很平凡。

这个课程共有62名学生。

二、函数的认识论（研究的理论体系）我们正在开发的数学认识论与诸如本文中所报道的研究在诸如Dubinsky （1991）的许多论文中有所描述。

我们在这里只给出一般性理论体系，以及我们如何尝试将其应用于函数的概念。

我们从下面的论述开始（Dubinsky，1989）：“一个人的数学知识是她或他倾向于通过构建、重建和组织心理过程和对象来应对某些类型的感知问题情境。

在这里我们没有讨论这个论述提出的几个重要问题的篇幅。

本文感兴趣的是，将这种观点应用于数学（或任何其他主题）包括确定构建的具体过程和对象的性质，以及当研究数学时如何组织它们。

动作是任何可重复的物理或精神操纵，以转换对象（例如，数字，几何图形，集合）来获取对象。

当整个行动可以完全在主体的思想中进行，或者只是被想象为发生，而不必贯穿所有具体步骤，我们说行动已经被内化为一个过程。

然后，受试者可以使用该过程来获得新过程，例如通过逆转过程或与其它过程协调它。

这不是对动作和过程之间的区别的完全令人满意的描述。

我们认为这样的规范是一个重要的开放性问题，需要进一步研究，这将是未来论文的目的。

我们在这里给出了我们开始研究的这种区别的理解，并且在第6.4节中，我们描述了基于本文中描述的工作的改进的，更可操作的版本。

最后，当一个进程可能被一些动作转化时，我们说它已经被封装成一个对象。

根据这个理论，虽然有几种方法来构建过程（内部化动作、反向或组合过程），只有一种方法来制作一个数学对象—通过封装一个过程。

这一点的重要性在于，在许多数学情况下，必须能够从对象返回到过程。

理论的原理之一是，这只能通过解封装对象来完成，也就是说，回到被封装以便首先构造对象的过程。

我们现在将一般理论与具体的数学概念联系起来。

在本文中，我们的重点将是函数作为过程性概念。

仅简要提及与过程相关的对象概念。

我们考虑三种思考方式：前置，行动和过程。

对于前置函数，我们认为主体实际上不显示非常多的函数概念。

无论术语对于这样的主题意味着什么，这个含义在执行与功能相关的数学活动中所要求的任务中不是非常有用。

我们将在下一节中提供一些初步概念的例子。

动作是对对象的可重复的心理或物理操纵。

这种功能概念将涉及例如将数字插入代数表达式并计算的能力。

这是一个静态的概念，因为主体将倾向于一次一个步骤（例如，表达式的一个评估）。

一个学生的功能理解只限于行动，可能能够形成通过代数表达式给出的两个函数的组合，将一个表达式中的每个变量替换为另一个表达式，然后简化，但他或她可能会在更一般的情况下无法编写两个函数，例如，当函数具有拆分域时，或者如果它们根本不是由表达式给出。

函数的过程概念包括根据某些可重复手段的对象的动态变换，给定相同的原始对象将总是产生相同的变换对象。