第38卷第2期1998年3月大连理工大学学报Journal of Dalian University of TechnologyVol.38,No.2Mar.1998数据包络分析方法综述X郭京福, 杨德礼(大连理工大学管理学院,大连　116024)摘要　阐述了数据包络分析的基本原理和方法,给出这一非参数方法的几个数学模型以及在多个领域的研究应用状况,并就该方法的发展作一展望.关键词　线性规划/数据包络分析;决策单元;有效性分类号　O221.10　概 论 数据包络分析(DEA)是美国著名运筹学家A.Charnes等人以相对效率概念为基础发展起来的一种效率评价方法〔1〕.具有单输入单输出的过程或决策单元其效率可简单的定义为:输出/输入,A.Charnes等人将这种思想推广到具有多输入多输出生产有效性分析上.对具有多输入多输出的生产过程或决策单元,其效率可类似定义为:输出项加权和/输入项加权和,形成了仅仅依靠分析生产决策单元(DM U)的投入与产出数据,来评价多输入与多输出决策单元之间相对有效性的评价体系.这种评价体系以数学规划为工具,利用观测样本点构成的“悬浮”在整个样本上的分段超平面,来评价决策单元的相对有效性.DEA是运筹学的一个新研究领域,是研究同类型生产决策单元相对有效性的有力工具. DM U确定的主导原则是,在某一视角下,各DM U具有相同的输入和输出.综合分析输入输出数据,得出每个DM U效率的相对指标,据此将所有DM U定级排队,确定相对有效的DM U,并指出其他DMU非有效的原因和程度,给主管部门提供管理决策信息.DEA在处理多输入多输出问题上具有特别的优势,主要是由于以下两个方面:1)DEA以决策单元的输入输出权数为变量,从最有利于决策单元的角度进行评价,从而避免了确定各指标在优先意义下的权数.2)DEA不必确定输入和输出之间可能存在的某种显式关系,这就排除了许多主观因素,因此具有很强的客观性.DEA可看作一种新的统计方法.传统的统计方法是从大量样本数据中分析出样本集合整体的一般情况,其本质是平均性;DEA则是从样本数据中分析出样本集合中处于相对有效的样本个体,其本质是最优性.DEA是致力于将有效样本与非有效样本分离的“边界”方法,X国家自然科学基金资助项目(7957009)　收稿日期:1997-01-30;修订日期:1997-10-20　郭京福:男,1965年生,博士生用线性规划方法判定DM U 是否位于生产前沿面上;它克服了错用生产函数的风险及平均性的缺陷.DEA 的出现给研究多输入多输出条件下的生产函数开辟了新的途径.DEA 又可看作是研究多输入多输出问题的多目标决策方法.可以证明,DEA 有效与相应的多目标规划问题的Pareto 有效解是等价的〔2〕.DEA 与对策论有密切关系,1986年A .Char nes ,W .W .Coo per 和魏权龄利用C 2R 模型研究了无限对策理论,后来又利用C 2WH 模型的原理建立了带有交叉约束集的多人对策锥极点理论.DEA 的首次成功运用是评价为弱智儿童开设的公立学校项目.DEA 的应用范围不仅扩展到军用飞机的飞行、基地维护与保养、陆军征兵、城市评价〔3〕等方面,而且在金融机构、电力企业、私人商业公司及公共事业的评价中也得到成功的运用.另外DEA 方法还被应用在学校评价、森林规划以及棉纺工业、冶炼工业、教育科研机构的评价研究中〔4〕.实事上DEA 的原型可以追溯到1957年Farrell 在对英国农业生产力进行分析时提出的包络思想,因此DEA 也被称为非参数方法或Farrell 型有效分析方法.1　DEA 基本原理与模型1.1　C 2R 模型假设有n 个生产决策单元DMU j (j =1,2,…,n ),每个DM U 都有m 项投入X j =(x 1j ,x 2j ,…,x mj )T ,s 项输出Y j =(y 1j ,y 2j ,…,y sj )T .则第j 0个DM U 的效率评估模型m ax L T Y 0s.t.　X T X j -L T Y j ≥0X T X 0=1X T ≥E e T ,L T ≥E e T(1)其中:(X 0,Y 0)为DM U j 0的输入输出,E 为阿基米德无穷小,e 为元素为1的向量.其对偶问题为m in 〔H -E (e T s -+e T s +)〕s.t.　∑nj =1X j K j +s -=H X 0∑n j =1Y j K j -s +=Y 0K j ≥0(j =1,2,…,n ),s +≥0,s -≥0(2)该DEA 模型是在生产可能集T =〔(X ,Y )û产出Y 可由投入X 生产出来〕满足以下公理性假设:凸性、锥性、无效性和最小性的条件下.这是规模收益不变的DEA 模型,若DM U 有效,则同时为技术和规模有效.考虑该模型的经济含义和基本思想,先不考虑松弛变量s -和s +,则上面等式变为min Hs.t.　∑X j K j ≤H X 0∑Y j K j ≥Y 0237　第2期 郭京福等:数据包络分析方法综述238大连理工大学学报 第38卷　即表示在生产可能集T内,保持产出Y0不减,同时将输入量X0各分量按同一比例H尽量减少.如果输入量不能减少即上式的最小值H*=1,则被评估单元为有效单元;否则为相对无效单元.也可以这样解释,第j0个决策单元的输出向量Y0被其他单元的输出向量的组合从“上面”包络,而其输入向量X0被其他单元输入向量的组合从“下面”包络”.当X0和Y0不能被同时包络时,则第j0个DM U为有效单元;否则为无效单元.这也是DEA方法为何如此命名的原因所在.1.2　BCC模型生产可能集的锥性假设有时是不现实或不合理的,因此去掉该项假设.当生产可能集T 只是满足凸性(加入条件∑K j=1)、无效性和最小性时,便可得到满足规模收益可变的BCC模型min　〔H-E(e T s-+e T s+)〕s.t.　∑K j X j+s-=H X0∑K j Y j-s+=Y0(3)∑K j=1s-≥0,s+≥0,K j≥0;j=1,2,…,n这种模型单纯评价DM U的技术有效性.其对偶形式为m ax　(L T Y0-u0)s.t.　L T Y j-X T X j-u0≤0(4)X T X0=1X≥E,L≥E,L0,is free式中:u0为规模收益指示量.若u*0为(4)的最优值,则(1)u*0<0,规模收益递增;(2)u*=0,规模收益不变;(3)u*0>0,规模收益递减.实际当中应用最广的就是上面这两种模型.1.3　其他DEA模型前面模型中决策单元的效率是输入输出的加权和之比,结合Cobb-Douglass生产函数,定义效率为输入输出加权之积的比,则可以得到CCSS模型〔5〕以及另一种乘积模型〔6〕.当DEA用来判断决策单元Pareto最优性时,得到CCGSS模型〔7〕;另外还有体现决策者偏好的锥比率的C2W H模型和研究具有无穷多个决策单元的C2WH模型〔8〕以及后来的综合DEA模型C2WY模型〔9〕.还有对决策单元的输入输出指标加以修正的DEA模型〔10〕以及对权系数加以限制的DEA模型〔11、12〕等.2　DEA的发展以及研究应用领域2.1　在输入输出方面的改进初始的DEA模型无论是C2R模型还是BCC模型,对所评价系统的输入输出没有任何的要求和限制,这是不符合客观实际情况的.R.D.Banker和R.C.M orey于1986年提出并研究了具有固定不变输入输出的DEA模型〔10〕;刘永清综合上述DEA模型讨论了系统中输入输出指标在有限范围变化的情况,给出了更广泛的DEA模型〔13〕.另外研究具有负输出的DEA 模型,将对某类决策单元提供综合而合理的评价方法.在实际应用中,也会遇到输入输出是以序数方式表达的系统,对于这类系统有效性的评价,W .W .Cook 、M .Kress 及L .M .Seiford 在1993年提出了相应的DEA 模型〔14〕.2.2　在权系数方面的研究原始的DEA 模型对权系数除要求非负外并未作任何的限制,这样得出的结果有可能不切实际或不真实.尽管又引进阿基米德无穷小来保证权重的正值,但不同的E 会产生不同的DEA 结果.因此对权系数的限制研究一直吸引着人们的关注,文〔11〕首先提出在单输出情况下用回归方法来确定权系数的下限;Golany 针对滞后效应等因素提出DEA 权重可以存在有序性,Ali 等人修正了其中的变换错误,并根据风险决策中的概率排序思想提出权重也可以有强序性和弱序性〔12〕.Thom pson 等于1990年提出利用保证域(AR)限制权重的方法;其实质是与锥比率的DEA 模型等价的,当然权重也可以利用AHP 法来确定〔15〕.Kaoru To ne 通过研究松弛变量的情况给出无须阿基米德无穷小的DEA 模型〔16〕,也有人提出对权重给出界限,利用有界线性规划原理进一步求解.2.3　DEA 的统计特性DEA 作为评价生产有效性的非参数方法与传统参数方法相比有许多不同之处.R.D.Banker 等于1986年首先对两种方法在评价生产有效性方面的差异作了比较〔17〕,后来又使用M onte Carlo 方法产生的仿真数据比较了DEA 方法和修正的最小二乘方法在生产前沿面有效性评价方面的差异. E.T hanassoulis 还使用假设的数据对回归分析方法和DEA 的差异作了比较〔18〕,并指出DEA 在分析具有多输入多输出生产系统有效性方面的突出优点及存在的不足.1993年R .D .Banker 对DEA 的统计特性作了深入的研究〔19〕;最近东南大学的肖度等通过对DEA 的统计特性研究指出在一定条件下DEA 为一极大似然估计,并且是一个有偏一致估计.2.4　依据运筹学理论对DEA 做的研究工作DEA 采用数学规划方法研究多目标决策问题,属于运筹学的研究范畴,因此可以将运筹学中的理论推广到DEA 中去. A.Charnes 、朱乔等研究的DEA 灵敏度分析便是典型的例子〔20〕;其中主要是利用基础解系矩阵来分析,也有利用DEA 投影来分析的.另一个与之相关的问题是随机DEA 的形成〔21〕.还有一方面的工作就是将DEA 方法与运筹学方法结合起来;例如V.Belton 等人将DEA 方法和多准则决策集成的研究,在决策支持系统中的研究以及R.D.Banker 等人将DEA 理论和对策理论结合起来评价决策单元有效性的研究〔22〕.近期T oshiy uki Suey oshi 通过研究比较不同时期的生产行为,给出了一种新的有效性概念“总体时间有效”〔23〕,这对建立动态多阶段的DEA 模型起到引导作用.2.5　DEA 方法与生产前沿面有效性分析研究在应用DEA 方法对生产前沿面有效性分析的研究中,J.M ahajan 〔24〕将DEA 原理和生产前沿的数学表达式联合起来讨论;R .D .Banker 、R .M .T hr all 〔25〕应用DEA 方法来评价生产规模收益并给出最佳生产规模(mpss )的概念,他们在近期又针对DEA 模型可能存在多个最优解的情况给出应用最优解来判别生产规模收益情况〔26〕;另外还有J.K.Sengupta 关于随机生产前沿面有效性分析的研究〔27〕以及应用目标规划和DEA 方法评价随机生产配置有效性的研究.其实朱乔等讨论的评价输入输出最佳组合的非参数方法也属于生产配置有效性的研究.239　第2期 郭京福等:数据包络分析方法综述240大连理工大学学报 第38卷　2.6　其他方面DEA作为评价经济系统相对效率的方法,有关计算结果与许多经济指标密切相关.迟旭在文献〔4〕中揭示了DEA方法和生产函数之间蕴含的内在联系,推导出生产规模收益、生产要素产出弹性及其边际技术替代率等经济参数的DEA计算公式.在理论上DEA是一种线性规划的优化方法,B.Go lany、Y.Ro ll〔28〕给出这一方法的实际操作步骤和注意事项.由于篇幅所限,还有不少理论以及实际应用;例如DEA可以用于预测预警,DEA理论可用于计算最大成本、收益、利润以及在技术进步等方面的应用.请读者参考有关文献.3　展 望 DEA开辟了生产有效性分析的新途径,无论在理论还是实际应用方面均有待进一步的发展与完善.DEA是生产前沿的一种研究方法,是一种确定性的生产前沿;它与随机生产前沿可进行比较研究亦可进一步探讨由DEA引起的生产有效性分析新的研究领域,在输入输出指标上可作进一步的完善.在考虑到时间因素时可探讨动态多阶段的效率评价体系.在应用计算方面,可进一步拓宽应用领域以及改进计算效率.参　考　文　献1　Char nes A,Coo per W W,Rhodes E.M easur ing the efficiency o f decisio n making units.Eur J Oper Res, 1978,2(6):429～4442　魏权龄.评价相对有效性的DEA方法运筹学的一个新的研究领域.北京:中国人民大学出版社, 1988.3　Char nes A.U sing DEA t o evaluate relativ e efficiencies in the eco no mic per for mance o f Chinese cities.So-cio-Econ Plan Sci,1989,23:325～3444　迟　旭.生产前沿面有效性分析的非参数方法和人力资源发展的研究:〔博士学位论文〕.大连:大连理工大学,1995.5　Char nes A,Coo per W W.Invar iant multiplicative efficiency and piecew ise Co bb-Doug las env elo pment.Ops Res Lett,1985,2(3):101～1036　Char nes A.A multiplicativ e model fo r efficiency analy sis.Socio-Econ Plan Sci,1982,16(5):223～224 7　Char nes A,Co oper W W,G olany B,et al.Fo undatio ns of dat a envelopment ana ly sis for Par eto-koo pman efficient empirical pro duction functions.J Econ1985,30:91～1078　魏权龄,崔宇刚.评价相对有效性的几个重要的D EA模型数据包络分析(二).系统工程理论与实践,1989(5):55～689　魏权龄,岳　明.综合的DEA模型C2W Y数据包络分析(四).系统工程理论与实践,1989(4):75～8010　Ba nker R D,M or ey C.Efficiency analysis for ex og enously fixed inputs a nd o utputs.Oper Res,1986,34(4):513～52111　Dy son R G,T hanasso ulis E.Reducing w eig ht flexibility in DEA.J Opl Res Soc,1988,39(6):563～57612　A li A I.Str ict v s,w eak o r dinal relations for multiplit ers in DEA.Manage Sci,1991,37:733～73813　刘永清,李光金.要素在有限范围变化的D EA模型.系统工程学报,1995,10(4):87～9414　Coo k W D,Kr ess M ,Seifor d L M.On the use of o rdinal date in data envelopment analy sis.J Opl ResSoc ,1993,44(2):133～14015　Ro ll Y.Contr olling facto r w eig hts in DEA.IIE Tran ,1991,23:1～816　K aor u T .A n E -free DEA and a new measur e o f efficiency .J Opl Res Soc Japan ,1993,36(3):167～17417　Banker R D,Conr ad R F ,Str auss R P.A compar ativ e applicatio n o f data env elo pment analysis andtr anslog metho ds.Manage Sci ,1986,32(1):30～4418　T hanassoulis E .A comparison of r egr ession analysis and data envelo pment analysis alter nat ive met ho dsfor perfo rmance assessment .J Opl Res Soc ,1993,44(11):1129～114419　Banker R D.M ax imum likelihoo d consistency and data env elo pm ent analy sis:a stat istical fo undatio n.Manage Sci ,1993,39(10):1265～127320　Charnes A .Sensit ivity analysis of the additive model in da ta env elo pment analysis .Eur J Oper Res ,1990,45(3):332～34121　Sengupta J K.T r ansfo rmat ions in sto chastic D EA mo dels.J Econ ,1990,46:109～12322　Banker R D.A g ame theor etic appr oach to measur ing efficiency.Eur J Oper Res ,1980,15(3):262～26623　T oshiy uki Sueyo ssshi.P ro duction a nalysis in difference t ime per io ds:A n a pplicatio n o f data envelop-ment analy sis.Eur J Oper Res ,1995,86(2):216～23024　M ahajan J.A data env elo pment analy sis mo del fo r assessing the r elat ive efficiency of selling functio n.Eur J of Oper Res ,1991,53(3):189～20525　Banker R D,T hra ll R M.Estima tio n of ret ur n to scale using dat a envelopment analy sis.Eur J OperRes ,1992,62(1):74～8426　Banker R D .Equivalence and implement atio n o f alter nat ive m et hods fo r deter mining ret ur ns to scale inDEA .Eur J Oper Res ,1996,89(3):473～48127　Seng upta J K.Dat a env elo pment analy sis fo r efficiency measurement in the sto chastic case.C omputOpens Res ,1987,14(2):117～12928　Glany B ,R oll Y .A n application pro cedure fo r D EA .Omega ,1988,17(3):237～250Overview of data envelopment analysis methodGuo Jingfu ,　Yang Deli(Scho ol of M anag e.,Dalian U niv.o f T echno l.,China )Abstract T he paper gives an overview of DEA basic pr inciples,related mathematical m od-els and so me applications .Finally ,so me research areas interested in the future are given .Key words linear pr ogram ming /data envelopment analysis;decision m aking units;ef-ficiency 241　第2期 郭京福等:数据包络分析方法综述。