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例6 水轮机转轮，进口水速度 v，1 出口水速度
v2，它们与切线夹角分别为
1，
，总体积流量
2
qV
。
求水流对转轮的转动力矩。
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解：经dt 时间，水由ABCD流到abcd。动量矩
6
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针
[例1] 单摆 已知m，l，t =0转时向为= 正0，）从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
mO (F )mO (T )mO (mg )mglsin
运动分析：v l , OM 。mO (mv ) mll ml 2
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
解：mO (F (e) )0 , 系统的动量矩守恒。
0mAvArLeabharlann B (vvA)rvAv 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,
均为 v 。 2
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例3：两小球质量皆为 m，初始角速度 0。
求：剪断绳后，角时的 。
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解： 0 时，
2．定轴转动刚体 Lz mz (mivi ) miri2 Jz
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速
度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz mz (mvC ) JC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于
刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§10-1 质点的动量矩定理
一．质点的动量矩
质点对点O的动量矩：mO (mv )r mv 矢量
质点对轴 z 的动量矩：mz (mv )mO (mvxy ) 代数量
3
mO (mv) 2OAB
mz (mv) 2OA' B'
由动量矩定理 即 d (ml2)
d dt
mO
(mv
)
mgl sin
mO (F ) , g
sin
0
dt
l
微幅摆动时，sin ,
并令 n2
g l
，则
n2
0
解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0,0 0) 则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2
g l
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§10-2 质点系的动量矩定理
F
左边可写成
r
d
(mv dt
)
d dt
(r
mv
)
dr dt
mv
而dr dt
mv
v
mv
0
,
r F mO (F ) ,
故：
d dt
(r
mv
)r
F
,
ddt[mO (mv )]mO (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
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将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
m2
m3 )R2v3
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例5 已知：R, J , M , , 小车 m，不计摩擦。
求小车的加速度 a。
解：LO J m v R
M (e) O
M
mg sin
R
d [J mvR] M mg sin R
dt
由 v ， dv a ， 得
R dt
MR mgR2 sin
a J mR2
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mivi ), mO (Fi (i) )0,则
dLO dt
mO
(Fi (e)
)MO(e)
一质点系对固定点的动量矩定理
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将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
dLx dt
mx
(Fi
(e)
)M
(e) x
,
dLy dt
my
( Fi
(e)
)
M
y
(e)
,
一．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩： LO mO (mivi )ri mivi
质点系对轴z 动量矩： Lz mz (mivi ) LO z
二．质点系的动量矩定理
对质点Mi ：
d dt
mO
(mi
vi
)mO
(
Fi
(i
)
)mO
(
Fi
(e)
)
(i 1,2,3,,n)
对质点系，有 ddtmO (mivi )mO (Fi(i) )mO (Fi(e) ) (i1,2,3,,n)
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv) z mz (mv)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
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二．质点的动量矩定理
d (mv ) F dt
r 两边叉乘矢径
,
有
r
d (mv dt
)
r
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时，
由
Lz2 2m(a
Lz1 Lz2 ，得
l
sin
)2
(a
a 2 0 l sin
)2
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刚体动量矩计算：
1．平动刚体 LO mO (mvC )rC mvC
(ri mivi miri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。
dLz dt
mz
( Fi
(e)
)M
(e) z
———质点系对固定轴的动量矩定理。
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
质点系的动量矩守恒 当 MO(e) 0 时， LO 常矢量。
当 M z(e) 0 时，Lz 常量。
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[例2] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 v
d dt
mx
(mv
)
mx
(
F
),
d dt
my
( mv
)
m
y
(
F
),
d dt
mz
( mv
)
mz
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO (F )0 (mz (F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv )常量) 称为质点的动量矩守恒。
作转动时的动量矩之和。
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[例4] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO LOA LOB LOC
J11 (J 22 m2v2 R2 ) m3v3R2
v3
v2
R2 2
1 2
R11
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
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第十章 动量矩定理 §10–1 质点的动量矩定理 §10–2 质点系的动量矩定理 §10–3 定轴转动刚体的动力学 §10–4 质点系的相对运动动量矩定理 §10–5 刚体平面运动动力学
习题课
2
动量定理或质心运动定理：质点系随质心平动的问题。
如绕质心轴定轴转动刚体，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是刚体确受外力的作用而运动。