A E P F G D
E A P F G D
B
H
C
B
H
C
答案： ( 法 1) 设 PGD 的 GD 边 上 的 高 为 h1 ， PEB 的 PE 1 1 1 h1 h2 AG GD AG h1 GD h1 PE h2 SPBD 8 ，整理得 2 2 2 1 1 S PHCF S PGAE 8 ，所以 S PHCF S PGAE 16 (平方分米)． 2 2 四边形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差． 如右上图，连接 CP 、 AP ． 由于 SBCP SADP SABP SBDP SADP 而 SBCP
1 1 S长方形ABCD ,即 SADP +SAPE +SBEQ +SBCQ S长方形ABCD 2 2
答案：根据一半模型： SADE SBCE
1 S阴影 +SAPE +SBEQ = S长方形ABCD ， S阴影 =SADP +SBCQ =20+35=55平方厘米 。 2
例2
如图， ABCD 是长方形， EF 与宽平行， GH 与长平行， AB 的长是 8 厘米， BC 的长是 6 厘米，那么 图中阴影部分的面积是 平方厘米．
A G
E
B H
D
F
C
答案：图中的阴影面积像一个风车，有四个三角形组成。每个三角形的面积是对应长方形的一半。 图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 8 6 2 24 (平方厘米)．
A 16 F C D
14 B E
答 案 ： BC CD 75 2 37.5 , 根 据 面 积 相 等 ， 底 的 比 与 高 的 比 成 反 比 例 ， 所 以
BC : CD 16 :14 8 : 7 , 因此 BC 37.5 (8 7) , 平行四边形 ABCD 的面积是 20 14 280 8 20
3 AOE 和 DOG 的面积之和为 120 70 20 ； 4 1 所以三角形 30 ， 4
1 1 又三角形 AOE 、DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 120 30 ， 所以四边形 EFGO 的 2 4
面积为 30 20 10 ． 4. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是
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答案：连接正方形的对角线，运用等积变形，可以得到阴影部分就变为右图中的阴影面积。所以这两 个阴影面积分别为
a 2 b2 ， 。 2 2
点睛：看见几个正方形放在一排一定要连接对角线，构造出平行线，进而利用等级变形解题。 2.（2005 年实外小升初测试题） 如图，长方形 ABCD 的边 AD=8cm，AB=6cm，E 为 AD 中点，对角线 ACˎBD 交于交于 O 点。BEˎCE 交两对角 线分别为 FˎG，∆ADF 的面积为 8cm2，求阴影部分 EFOG 的面积.
60 50 先求出三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和， 以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积． 由于长方形 ABCD 的面积为 15 8 120 ， 所以三角形 BOC 的面积为 120
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例3
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（2008 年春蕾杯五年级决赛）如图，长方形 ABCD 的边上有两点 E 、 F ,线段 CF、DF、CE、BE 把长方 形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 平方米。
答案：根据题意： SDFA SFCB
又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以 阴影部分的面积为： 50 5 2 40 ．
演练
1. (成都外国语学校 2006 年“德瑞杯”知识竞赛)如图，平行四边形 ABCD 的周长为 75 厘米。 以 BC 为底时高是 14 厘米，以 CD 为底时高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。
平方厘米 2. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10 厘米，那么长方形的 宽为几厘米？
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答案： 连接 AG .(我们通过 △ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起)． 1 因为在正方形 ABCD 中， S△ ABG AB AB 边上的高， 2 1 所以 S△ ABG S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 2 1 同理， S△ ABG S EFGB ． 2 所以正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4 (厘米)． 3. (2008 年走美六年级初赛)如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， AB 8 ， ． AD 15 ，四边形 EFGO 的面积为
3. （成都外国语学校 2006 年“德瑞杯”知识竞赛） 如下图所示， 在长方形 ABCD 中， 三角形 ADP 的面积为 20 平方厘米， 三角形 CBQ 的面积为 35 平方厘米。 求阴影四边形的面积。
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AG AH 2SAMF 2SEMF 2S AME
DE BF 2SAEF
11 3 2 17 67
5. 如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、GH ，若 PBD 的面积为 8 平方分米， 求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？
A
D
O E B F
G C
答案：方法一：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色 部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120 70 50 ，所以四边形的面积为
SBCE 1 S 2
ABCD
1 S 2
ABCD
，
SDAF SFCB ，
所以 S阴影 15 36 46 97 （平方米） 。
例4
(2008 年” 华杯赛” 初赛)如图所示， 长方形 ABCD 的面积为 24 平方厘米． 三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和为 7.8 平方厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米．
1 S ABCD ，所以 SBCP SABP SBDP ． 2
边 上 的 高 为 h2 ． 则 1 1 GD h2 AG h1 8 ，即 2 2
(法 2)根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行
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一半模型
经典精讲
一、一半模型
A
B
A S4 S1 S2 S3
B
C
D
S阴影 1 S长方形 2
C
S1 S3 S2 S4
D
1 S长方形 2
S 空白 =
S1 S2 S3 S4
二、等积变形 直线 AB 平行于 CD ，可知 S ACD S BCD ；
D M O A
P N
C
B
答案：因为三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是长方形 ABCD 的面积的一半，即 12 平方厘米， 又三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和为 7.8 平方厘米，则三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和 是 4.2 平方厘米， 则四边形 PMON 的面积 三角形 ABP 面积 三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和
4.如图，三角形 AEF 的面积是 17 ， DE 、 BF 的长度分别为 11、3．求长方形 ABCD 的面积．
A
B F
A H
G M
B F
D
E
C
D
E
C
答案：如图，过 F 作 FH ∥ AB ，过 E 作 EG ∥ AD ， FH 、 EG 交于 M ，连接 AM ． 则
S矩形ABCD S矩形AGMH S矩形GBFM S矩形MFCE S矩形HMED
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．
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A H E G D
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A M H E G N D
B
F
C
B
F
C
答案：如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M 、 N ．连接 CN ． 根据面积比例模型，CMF 与 CNF 的面积是相等的， 那么 CMF 与 BNF 的面积之和， 等于 CNF 与 BNF 的面积之和，即等于 BCN 的面积．而 BCN 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 1 122 72 ． 2 又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以四边 形 EFGH 的面积为： 72 60 2 6 ． 5. 如图， P 为长方形 ABCD 内的一点。三角形 PAB 的面积为 5，三角形 PBC 的面积为 13.请问： PBD 的面积是多少？
三角形 ABO 面积 12 4.2 6 1.8 (平方厘米)．