第三章 线性方程组的迭代解法教学目标：1.了解线性代数方程组迭代解法的基本思想，向量序列和矩阵序列收敛的基本思想及相关定理；2.掌握迭代法的构造思想、收敛性和速度（率）以及相关定理；3.在理解Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理的基础上，掌握两种迭代法的计算步骤和相互关系，并掌握两种迭代法的收敛性相关定理。

4.初步了解超松弛（SOR ）迭代法的基本思想。

教学重点：1.迭代法的原理、基本思想和序列收敛的概念；2.迭代法的构造、收敛和速率；3. Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理、实现步骤和收敛性； 教学难点：1.迭代法的构造、收敛和速率；2. Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的原理、实现步骤和收敛性；线性方程组的直接解法，用于阶数不太高的线性方程组效果较好。

实际工作中有的线性方程组的阶数很高，用直接法求解效果不是很好。

而迭代法与直接法不同，它是通过从某些初始向量出发，用设计好的步骤逐次计算出近似解向量()k x ，从而得到向量序列(0)(1)(2){,,,}x x x 。

一般(1)k x +的计算公式为(1)()(1)()(,,,),0,1,k k k k m k x F x x x k +--==式中(1)k x +与()(1)(),,,k k k m x x x --有关，称为多步迭代法。

若(1)k x +只与()k x 有关，即(1)()(),0,1,k k k x F x k +==则称为单步迭代法。

现再设k F 是线性的，即(1)(),0,1,k k k k x B x f k +=+=其中n n k B R ⨯∈，称为单步线性迭代法，k B 称为迭代矩阵。

若k B 和k f 与k 无关，即(1)(),0,1,k k x Bx f k +=+=称为单步定常线性迭代法。

迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法去求线性代数方程组的解。

迭代法的关键有：（1）如何构造迭代公式(1)()k k x Bx f +=+？（2）迭代法产生的向量序列的收敛条件是什么？收敛速度如何？§3.1 迭代法的基本概念3.1.1 向量序列和矩阵序列的极限为分析迭代法的收敛性，先讨论向量和矩阵序列极限的概念。

n R 中向量序列(0)(1)(2){,,,}x x x 记为()0{}k k x ∞=，在不引起混淆时就简记为(){}k x 。

同理，n n R ⨯中矩阵的序列记为()0{}k k A ∞=或(){}k A 。

定义 3.1 定义了范数•的向量空间n R 中，若存在n x R ∈满足()lim 0k k x x →∞-=，则称(){}k x 收敛于x ，记为()lim k k x x →∞=。

不难看出，上述向量序列极限的定义形式上依赖于所选择的范数，注意到向量范数的等价性，若(){}k x 对一种范数而言收敛于x ，则可证明对其它范数而言也是收敛于x 的，这说明(){}k x 的收敛性与所选择的范数无关。

设()()()()12(,,,)k k k k Tn x x x x =，12(,,,)T n x x x x =，若(){}k x 收敛于x ，且选用∞-范数，则有()1lim max 0k i i k i nx x →∞≤≤-=从而有()lim 0,1,2,,k i i k x x i n →∞-==即()lim k k x x →∞=等价于()lim ,1,2,,k i i k x x i n →∞==。

向量序列的收敛性等价于由向量分量构成的n 个数列的收敛性，此时也称(){}k x 按分量收敛。

定义3.2 定义了范数•的空间n n R ⨯中，若存在n n A R ⨯∈使()lim 0k k A A →∞-=，则称(){}k A 收敛于A ，记为()lim k k A A →∞=。

同理，(){}k A 的收敛性与所选择的范数无关，而且若记()()()k k ij n nA a ⨯=，()ij n nA a ⨯=，则有()()lim lim k k ij ij k k A A a a →∞→∞=⇔=，,1,2,,i j n =定理3.1 ()()1lim 0lim 0k k n n n k k A A x ⨯⨯→∞→∞=⇔=，n x R ∀∈。

证明：必要性 只要注意到对任一种矩阵从属范数都有()()k k A x A x ≤⋅即可。

充分性 若取x 为单位向量j e ，其第j 个分量为1，其它分量为零。

则()lim 0k j k A e →∞=意味着()k A 第j 列各元素极限为零，依次取1,2,,j n =即可。

证毕下面讨论有矩阵的幂所构成的矩阵序列，即序列{}k B ，其中n n B R ⨯∈。

定理3.2 设n n B R ⨯∈，则下面三个命题等价： （1）lim 0k k B →∞=；（2）()1B ρ<，其中1()max ||i i nB ρλ≤≤=为B 的谱半径；（3）至少存在一种从属的矩阵范数•，使1B <。

证明：(1)(2)⇒ 用反证法，假设B 有一个特征值λ，满足||1λ≥，则存在特征向量0x ≠，使得Bx x λ=。

由此可得||k k B x x λ=，当k →∞时向量序列{}k B x 不收敛于零向量，据定理3.1有{}k B 不收敛于零矩阵，与命题（1）矛盾。

(2)(3)⇒ 若()1B ρ<，则0ε∀>，存在一种从属的矩阵范数•，使()B B ρε≤+，适当选择1()2B ρε-=，便可使1B <。

(3)(1)⇒ 若1B <，则由kk B B <可得lim 0k k B →∞=，从而lim 0k k B →∞=。

定理3.3设n nB R⨯∈，•为任一种范数，则1lim ()k kk BB ρ→∞=。

证明：由定理知()B B ρ≤，从而()k kB B ρ≤，而1()[()]kkB B ρρ=，所以有11()[()]kk k kB B Bρρ=≤，对k 一切成立另一方面，0ε∀>，记()BB B ερε=+，显然有()1B ερ<。

由定理3.2有lim 0k k B ε→∞=，所以存在()N N Z ε=∈，使得当k N >时，有1[()]kk kB B B ερε=<+即当k N >时1()()k kB B B ρρε≤≤+，而ε是任意的，即得定理结论。

证毕3.1.2 迭代公式的构造设n n A R ⨯∈，n b R ∈，A 非奇异，n x R ∈满足方程组Ax b =。

如果能找到矩阵n n B R ⨯∈，向量n f R ∈，使I B -可逆，而且方程组x Bx f =+的唯一解就是Ax b =的解，则可以从x Bx f =+构造一个定常的线性迭代公式(1)()k k x Bx f +=+ （3.1）给出(0)n x R ∈，由（3.1）式可以产生(){}k x ，若它有极限*x ，显然*x 就是x Bx f =+和Ax b =的解。

定义3.3 若迭代公式（3.1）产生的序列(){}k x 满足()*lim k k x x →∞=，(0)n x R ∀∈则称迭代法（3.1）是收敛的。

从Ax b =出发可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组x Bx f =+，从而得到不同的迭代法（3.1）。

例如，设A 可以分解为A M N =-，其中M 非奇异，则有11Ax b Mx Nx b Mx Nx b x M Nx M b --=⇒-=⇒=+⇒=+令111,B M N I M A f M b ---==-=，则有x Bx f =+，这里的B 和f 依赖不同的分解方法A M N =-。

3.1.3 迭代法的收敛性设*x 是x Bx f =+的解，即有**x Bx f =+，用(1)()k k x Bx f +=+与其相减得(1)*()*()k k x x B x x +-=-若记误差向量为()()*k k e x x =-，则有(1)(),0,1,k k e Be k +==由此可推得()(0)k k e B e =其中(0)(0)*e x x =-与k 无关，所以迭代法（3.1）收敛就意味着()(0)(0)lim lim 0,k k n k k e B e e R →∞→∞==∀∈定理3.4 下面三个命题等价：（1）迭代法(1)()k k x Bx f +=+收敛； （2）()1B ρ<；（3）至少存在一种从属的矩阵范数•，使1B <。

证明：从以上分析，命题（1）中迭代法收敛等价于(0)(0)lim 0,k n k B e e R →∞=∀∈，有定理3.1，上式成立的充要条件是lim 0k k B →∞=，再由定理3.2即可。

证毕有时实际判别一个迭代法是否收敛，条件()1B ρ<是较难检验的。

由于1B ，B ∞，F B 等可以用B 的元素来表示，故我们可以考虑用11B <，1B ∞<或1FB<来作为收敛的判定，这就是下面的定理：定理 3.5 设*x 是方程x Bx f =+的唯一解，ν•是一种向量范数，对应的从属矩阵范数1B ν<，则由（3.1）产生的向量序列(){}k x 满足()*()(1)1k k k B x x x x B νννν--≤⋅-- （3.2）()*(1)(0)1kk B x x x x B νννν-≤⋅-- （3.3）证明：因为()*(1)*()()k k x x Bx f Bx f --=+-+(1)*()k B x x -=-(1)()()*()()k k k B x x B x x -=-+-所以有()*(1)()()()()k k k I B x x B x x ---=-。

因为1B ν<，由定理3.4知迭代法是收敛的，()*lim k k x x →∞=。

从1B ν<可得I B -是非奇异的，且()*1(1)()(1)()()()1k k k k k B xxI B B xx x x B ννννν----=--≤⋅--即得（3.2）式。

由于()(1)(1)(2)(1)(2)()()()k k k k k k x x Bx f Bx f B x x ------=+-+=-再反复运用()(1)(1)(2)(1)(2)()k k k k k k x x B x x B x x νννν------=-≤⋅-即可得（3.3）。

证毕利用定理3.5做误差估计，一般可取1,2,ν=∞。

从（3.2）式可以看到，只要B ν不是很接近1，若相邻两次迭代向量(1)k x -与()k x 已近很接近，则()k x 与*x 已经相当接近，所以可以用()(1)k k x x νε--<来控制迭代终止。