高中数学必修四平面向量复习【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：AB u u u r 或a r。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB uuu r 或||a r 。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e r 是单位向量，则||1e =r。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0r 。

【0r方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-u u u r u u u r。

8.三角形法则：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b r r为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +r r ，a b -r r 。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔r r r r 。

当0λ>时，a b r r 与同向；当0λ<时，a b r r与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =r，则||a =r ，22||a a =r r，||a b +=r r 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ； cos ||||a ba b θ⋅=⋅r rrr 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=r r r r ；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =u u u r u u u r。

（5）若AB CD =u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r 共线。

（7）若ma mb =r r ，则a b =r r。

（8）若ma na =r r ，则m n =。

（9）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量。

（10）若||||a b a b ⋅=⋅r r r r ，则//a b r r 。

（11）若||||a b a b +=-r r r r，则a b ⊥r r 。

题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b +=r r。

2.化简()()AB MB BO BC OM ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r。

3.已知||5OA =u u u r ,||3OB =u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b ==u u u r r u u u r r ，则AB =u u u r ，AD =u u u r。

5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r ,则AC =u u u r BC uuu r ，AB =u u u rBC uuu r 。

题型3.向量的数乘运算1.计算：2(253)3(232)a b c a b c +---+-=r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-r r ，则132a b -=rr 。

题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r。

2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和。

题型5.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.已知(3,5)PQ =--u u u r ，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。

3.若物体受三个力1(1,2)F =r ,2(2,3)F =-r ,3(1,4)F =--r ,则合力的坐标为 。

4.已知(3,4)a =-r，(5,2)b =r ，求a b +r r ，a b -r r ，32a b -r r 。

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--r与AB u u u r 相等，求,x y 的值。

6.已知(2,3)AB =u u u r ，(,)BC m n =u u u r ，(1,4)CD =-u u u r ，则DA =u u u r。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=u u u r u u u r r ，求OC u u u r的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212e e e e +-u r u u r u r u u r和 B.1221326e e e e --u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e +-u r u u r u u r u r 和 D.221e e e -u u r u u r u r和 2.已知(3,4)a =r，能与a r构成基底的是（ ）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3-- 题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =u u u r ，150xOA ∠=o，求OA u u u r 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA =u u u r ，60xOA ∠=o，求OA u u u r 的坐标。

题型8.求数量积1.已知||3,||4a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b ⋅r r ，（2）()a a b ⋅+r r r ， （3）1()2a b b -⋅r r r ，（4）(2)(3)a b a b -⋅+r r r r 。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b ⋅r r ，（3）(2)a a b ⋅+rr r ， （4）(2)(3)a b a b -⋅+r r r r。

题型9.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==r r ，12a b ⋅=r r ，求a r 与b r的夹角。

2.已知(2)a b ==-r r ，求a r 与b r的夹角。

3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

题型10.求向量的模1.已知||3,||4a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b +r r ，（2）|23|a b -r r 。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b +r r ，（6）1||2a b -rr 。

3.已知||1||2a b ==r r ，，|32|3a b -=r r ，求|3|a b +r r 。

题型11.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a =±rr r 】1.与(12,5)a =r 平行的单位向量是2.与1(1,)2m =-r平行的单位向量是 。

题型12.向量的平行与垂直1.已知(1,2)a =r，(3,2)b =-r ，（1）k 为何值时，向量ka b +r r 与3a b -r r 垂直？（2）k 为何值时向量ka b +r r 与3a b -r r平行？2.已知a r是非零向量，a b a c ⋅=⋅r r r r ，且b c ≠r r ，求证：()a b c ⊥-r r r 。

题型13.三点共线问题1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线。

2.设5),28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 。

4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=u u u r u u u r u u u r成立？题型14.判断多边形的形状1.若3AB e =u u u r r ，5CD e =-u u u r r ，且||||AD BC =u u u r u u u r,则四边形的形状是 。

2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形。

3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=u u u r u u u r u u u r,求证：ABC ∆是等腰直角三角形。

题型15.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =r，(2,1)b =r ，当k 为何值时，向量ka b -r r 与3a b +r r 平行？2.已知a =r，且a b ⊥r r ，||2b =r ，求b r 的坐标。

3.已知a b r r 与同向，(1,2)b =r，则10a b ⋅=r r ，求a r 的坐标。

4.已知(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，(5,4)c =r ，则c =r a +rb r 。

5.已知(,3)a m =r ，(2,1)b =-r ，（1）若a r 与b r的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围。