n1
min vk k0
s.t.
n1 k0
1Qvk
Qvk Avk
B
(5)
0 vk 1 k 0,1, 2, , n 1
其中
AHC LBH L1,BC L
案例：节水洗衣机
分析与求解
I. 最少洗衣轮数
第k轮的洗净效果为
xk1 xk
1Qvk
Qvk Avk B
0vk 1 k 0,1,2, ,n1
一个大于0的常数C。并由于脱水时不另加水，
故C<L。
案例：节水洗衣机 变量定义
1. 设共进行n轮“加水—漂洗—脱水”的过程，
依次为第0轮、第1轮、… 、第n-1轮。
2. 第k轮用水量为 uk(k0,1,2, ,n-1)
3. 衣服上的初始脏物量为x0，在第k轮脱
水之后的脏物量为
xk 1(k0,1 ,2, ,n-1 )
Hale Waihona Puke pk =Q xk (uk - L)/(H - L)
(2)
案例：节水洗衣机
1. 溶解特性和动态方程
在p第k =kQ轮x脱k 水(uk后- 衣L)服/(H上-尚L有)
脏物 qk xk pk
脏水 C
k轮后尚存脏物总量 xk+1 (xk pk)Cupkk (3)
(2)代入(3) 系统动态方程:
xk1xk1Q1u C ku H k L L
k=n-1
xn为衣服上的最
终 脏物量
案例：节水洗衣机
模型建立
1. 溶解特性和动态方程
分析：在第k轮漂洗之后和脱水之前，第k-1 轮脱水之后的脏物量xk已变成两部分：
x k p k q k ,k 0 , 1 ,2 ,,n - 1 ( 1 )
其中 p k : 已溶入水中的脏物量, q k : 尚未溶入水中的脏物量.
k0,1,2, ,n1
(4)
案例：节水洗衣机
模型建立
2. 优化模型
xn: 洗衣全过程结束后
衣服上残存脏物量 xn
x0: 初始脏物量
xu k 0
xn x1 x2 x3 x0 x0 x1 x2
洗净效果
xn xn1
系统动态方程 (4)
xn
x0
kn101Q(1uCk)uHk L L
用水总量
u n1 k0 k
案例：节水洗衣机
2. 优化模型
可得优化模型如下
n1
min uk k0
，
s.t.
n1 k0
1Q(1
C uk
)
uk H
L L
,
(0 1)
Luk H, k 0,1,2, ,n1
其中 代表对洗净效果的要求。若令
vk
uk H
L L
uk(HL)vkL
案例：节水洗衣机
2. 优化模型
优化模型成为更简洁的形式：
建模案例——节水洗衣机
案例：节水洗衣机
问题背景
➢我国淡水资源有限，节约用水人人有责。
洗衣在家庭用水中占有相当大的份额， 目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机 用水在节约用水中占有十分重要的地 位。
案例：节水洗衣机
问题
假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为
加水—漂洗—脱水—……—加水—漂洗—脱水 （称“加水——漂洗—脱水”为运行一轮）
用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法。
大部分题目都可以用两种以上的方法来解决。
数学建模中的常用数学软件
a. MATLAB：计算方法，优化/统计/符号工具箱等 b. LINDO/LINGO：专业的优化软件 c. 其他
SAS, JMP: 统计分析软件，专业性强 Mathematica, Maple: 符号／精确计算能力强 EXCEL: 电子表格，简单数据处理 语言：C++, 等
2. 每次漂洗加水量不低于L , 否则洗衣机无
法转动，同时加水量不能高于H, 否则会
溢出, 且L<H。
案例：节水洗衣机
假设和定义 基本假设
3. 每次漂洗的时间是足够的，以便衣服上的脏物充 分溶入水中，从而使每次所加水被充分利用。
4. 脱水时间是足够的，以使脏水充分脱出, 即让衣 物所含的脏水量达到一个底限，设这个底限是
➢请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少次、 内轮加水量多少等),使得在满足一定洗涤效果 的条件下，总用水量最少。 ➢选用合理的数据进行计算, 并对照目前常用的洗 衣机的运行情况，对你的模型和结果进行评价。
案例：节水洗衣机
假设和定义
基本假设
1. 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水后 完全换成清水进行下一次漂洗。
赛题的解决方法
每一个题目都有多种解决方法，因此，建模竞赛问题没 有唯一答案、唯一方法，可以给大家发挥的空间。
涉及到的数学建模方法有： 几何、概率、统计、优化、图论、网络、层次分析、插值与 拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策 、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间 序列、综合评价方法、机理分析等方法。
案例：节水洗衣机
1. 溶解特性和动态方程
pk与第k轮的加水量uk有关，uk pk ➢当 uk =L 时pk最小
(pk =0, 因为此时洗衣机处于转动临界 点, 有时可能无法转动)
➢当 uk =H 时pk最大 （ pk = Q xk，0<Q<1, 其中Q称为“溶解率”）
因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有：
vk
uk H
L L
为离散的变量！
案例：节水洗衣机
分析与求解
I. 最少洗衣轮数
定义函数
r(t)1Q t Q t 0t1 AtB
r m in r(1 ) 1 Q Q H C 1 Q (1 H C ) (0 , 1 )
第k轮的洗净效果为
xxkk1r(vk) k0,1,2, ,n1
数学建模报告
如何学习数学建模
（1） 了解和学习数学建模的常用方法
数学建模问题纷繁复杂，但解决问题的数学建模方法 必定有限，了解和学习常用的数学建模方法能帮助你在遇 到问题时能有一个较明确的解题方向。
常用的数学建模方法有： 初等方法：比例法、模拟法、优化法 微分、差分方程方法 概率统计方法 数学规划方法 层次分析法 模糊判别法 统计判别法、统计聚类法 回归分析法、主成分分析法 图与网络方法 计算机模拟法
学习的方式有很多：听课、看书、读论文、做题
（2 ） 做一些简单的数学建模问题
通过做题掌握方法、锻炼思维、提高能力。
（3） 阅读数学建模竞赛优秀论文
学习别人所建的模型是建模的第一步。在阅读论文过程中 了解问题、学习方法、并学会建立数学建模解决实际问题的全 过程。
（4） 亲自动手做一定的数学建模问题
三个人组成一队，真正地解决一、两个建模问题，这是参 加数学建模必不可少的关键环节。熟话说“百闻不如一见”， 我们说“百听、百看都不如一练”。