2021届新高考版高考数学专项突破训练专项1 提素养·数学文化1.[干支纪年法]干支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序将一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起.例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80周年时为()A.丙酉年B.戊申年C.己亥年D.己酉年2.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f (x)=(m>0),则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)等于()A.B.C.D.3.[2020贵阳四校联考]中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文.”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,他们所分钱数构成等差数列,甲、乙两人共分77文,戊、己、庚三人共分75文.问:丙、丁两人各分多少文钱? () A.丙分34文,丁分31文 B.丙分37文,丁分40文C.丙分40文,丁分37文D.丙分31文,丁分34文4.[2020湖北八校第一次联考]鲁班锁是中国古代传统的土木建筑固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩具,它起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观则是严丝合缝的十字几何体,十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样,其中,六根和九根的鲁班锁最为著名.某种九根的鲁班锁由如图2 - 1所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖出一些凹槽制成的.若九根正四棱柱的底面边长均为1,六根短条的高均为3,三根长条的高均为5,现将拼好的鲁班锁(如图2 - 2)放进一个圆柱形容器内,使其最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为()图2 - 1图2 - 2A.πB.πC.135πD.π5.[幻方]我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图2 - 3(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图2 - 3(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为N n,如N3=15,那么N9=()(1)(2)图2 - 3A.41B.45C.369D.3216.[刍童]“刍童”是中国古代的一个数学名词,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()A. B. C.39 D.7.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2 - 4为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sin 2°的近似值为()图2 - 4A. B.C. D.答案解析1.D易知到2029年,中华人民共和国成立80周年.从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,80÷10=8,则2029年对应的天干为己;80÷12=6……8,则2029年对应的地支为酉.故选D.【试题评析】本题以我国独有的传统文化为背景命制,体现了周期在实际生活中的应用.2.A设x+y=m+2 019,则f (x)+f (y)=.所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)={[f (1)+f (m+2 018)]+[f (2)+f (m+2 017)]+…+[f (m+2 018)+f (1)]}=(m+2 018)=.故选A.【试题评析】本题以高斯算法为背景命制,传承了经典的数学文化.3.A解法一设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,公差为d,根据题意可得即解得所以丙所分钱数a3=a1+2d=34(文),丁所分钱数a4=a1+3d=31(文),故选A.解法二依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a - 3d,a - 2d,a - d,a,a+d,a+2d,a+3d,则解得所以丙所分钱数为a - d=34(文),丁所分钱数为a=31(文),故选A.4.B设圆柱的底面半径为r,用平行于圆柱底面的平面截圆柱和鲁班锁中间横向最长木条,截面如图D 2 - 1所示,图D 2 - 1记截面圆的圆心为O,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,则OA2=OC2+AC2,即r2=()2+()2=,所以该圆柱形容器的体积的最小值为πr2·5=π,故选B.5.C根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式得N n=,则N9==369.故选C.【试题评析】幻方又称为魔方,它最早起源于我国,宋代数学家杨辉称之为纵横图.本题借助幻方考查等差数列的性质及求和公式.6.B设下底面的长为x(≤x<9),则下底面的宽为=9 - x.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9 - x)]= - x2+,故当x=时,体积取得最大值,最大值为- ()2+.故选B.7.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以1801×1×sin 2°=90sin 2°≈π,所以sin 2°≈,所以选A.专项2 析情境·数学应用1.[2019郑州国际马拉松赛]“郑州银行杯”2019郑州国际马拉松赛于10月13日上午鸣枪开赛.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5时,则他平均每分的步数可能为()A.60B.120C.180D.2402.[中国高铁]2008年8月,我国第一条高速铁路——京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道,中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先.图 3 - 1是2013—2018年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是()图3 - 1A.2016年旅客运输量增速超过14%B.旅客运输量增速最大的是2014年C.2016—2018年旅客运输量减少D.2016—2018年旅客运输量逐年增长3.[垃圾分类]垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为响应国家号召,各地区采取多种措施推行此项活动.某商家设计了一种新式分类垃圾桶,它是长方体状,高为0.5米,长和宽之和为2.4米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为()A.2.4平方米B.3平方米C.3.84平方米D.5.28平方米4.[黄金三角形]17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是勾股定理,另一件是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,如图3 - 2所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,图3 - 2在其中一个黄金三角形ABC中,.根据这些信息,可得sin 234°=()A. B. - C. - D. -5.2019年3月10日,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12 000米/秒.6.[爱国主义教育活动]某学校开展爱国主义教育活动,要在6名男生和3名女生中选出5名学生参加关于庆祝新中国成立70周年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分.已知6名男生中有2人所有题目都不会答,只能得0分,其余4人可保证得2分;3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为6分的概率为.7.[2020洛阳市第一次联考]水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,图3 - 3是一个半径为R的水车的示意图,一个水斗从点A(3, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f (t)=R sin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列叙述正确的是.(填序号)图3 - 3①R=6,ω=,φ= - ;②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;③当t∈[10,25]时,函数y=f (t)单调递减;④当t=20时,|PA|=6.答案解析1.C2.5时=150分,42千米=42 000米,故该运动员每分的路程为=280(米),由题意及选项知,若每分的步数为180,则其步幅为≈1.56(米),符合题意.若每分的步数为60,则其步幅为≈4.67(米),不合题意,同理,当每分的步数分别为120,240时,也不合题意.故选C.【素养落地】试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养.2.C根据题图中的曲线,通过计算可得A,B正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得C错误,D正确.故选C.3.C设长和宽分别为x米,y米,则该垃圾桶的体积V=0.5xy米3,而0.5xy≤0.5×()2=0.72,当且仅当x=y=1.2时取等号,此时所需耗费铁皮的面积为1.2×1.2+0.5×1.2×4=3.84(米2),故选C. 【素养落地】试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养.4.C解法一由题可知∠ACB=72°,且cos 72°=,cos 144°=2cos272°- 1= - ,则sin 234°=sin(144°+90°)=cos 144°= - .故选C.解法二由正弦定理得,即,得cos 36°=,则sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - .故选C.解法三如图D 3 - 1,取BC的中点为D,连接AD,图D 3 - 1由题意知∠BAC=36°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=18°,AD⊥BC,∵,∴sin∠CAD=,即sin 18°=,∴sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - (1 - 2sin218°)=2sin218° - 1=2×()2 - 1= - .故选C.【素养落地】试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的逻辑推理、数学抽象等核心素养.5.e6 - 1∵v=2 000·ln(1+),又火箭的最大速度可达12 000米/秒,∴12 000=2 000·ln(1+),可得ln(1+)=6,1+=e6,解得=e6 - 1.【素养落地】试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、数学运算等核心素养.6.由题意知,得分之和为6分有以下三种情况:“男生得0分,女生得6分”,设为事件A;“男生得2分,女生得4分”,设为事件B;“男生得4分,女生得2分”,设为事件C.P(A)=()3=;P(B)=()2×()1=;P(C)=()1×()2=.故所选队员得分之和为6分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=.7.①②④由题意可知函数f (t)的最小正周期T=60,所以=60,解得ω=,又从点A(3, - 3)出发,所以R=6,6sin φ= - 3,又|φ|<,所以φ= - ,故①正确;y=6sin(t- ),当t∈[35,55]时,t-∈[π,],则sin(t - )∈[ - 1,0],y∈[ - 6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故②正确;当t∈[10,25]时,t - ∈[,],所以函数y=6sin(t - )在[10,25]上不单调,故③不正确;当t=20时,t- ,则y=6sin=6,且x=6cos=0,所以P(0,6),则|PA|==6,故④正确.综上,正确的是①②④.专项3 重应用·数学建模1. [解三角形模型]如图5 - 1,图5 - 1为了测量A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2km,CE=km,则A,B两点间的距离为()A.kmB.2kmC.3 kmD.2km2.[古典概型]古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”(完全数,即它所有的真因子的和恰好等于它本身)6和28,后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336.现将这5个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为()A.B.C.D.3.[构建长方体模型]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中正确的命题是()A.①④B.②④C.①③D.④4.[多选题]在正四面体ABCD中,已知E,F分别是AB,CD上的动点(不含端点),则下列说法不正确的是()。