《高等数学》中的积分在物理学中的应用
积分的应用（力学，磁场，速度。

）
分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。

求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。

在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。

并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。

例1 一半径为R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度为：),1(22
0R
r αρρ-=
式中0ρ和α都是常数。

试求此圆球饶直径转动时的回转半径。

解：设dm 表示距球心为r 的一薄球壳的质量，则
dr R
r r dr r dm )1(22
2
02
απρρπ-==，
所以此球对球心的转动惯量为
.3557)1(50220
4
002
α
πραπρ-=-==⎰
⎰R dr R
r r dm r I R
R
(1)
在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为
I I 3
2
=
'， (2) 又因球的质量为
⎰⎰
-=-==R
R
R dr R
r r dm m 030220
2
0.1535)1(α
πραπρ (3)
又饶直径的回转半径
,m
I k '
=
(4) 由(1)-(4)，得.21351014R k α
α
--=
例2 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为2
3d k =，式中d 为对角
线的长度。

解：建立坐标系，设O 为立方体的中心，轴,Ox ,Oy Oz 分别与立方体的边平行。

由对称性知，,Ox ,Oy Oz 轴即立方体中心惯量的主轴。

设立方体的边长为.a
由以上所设，平行于Ox 轴的一小方条的体积为adydz ，于是立方体饶Ox 的转动惯量为
.6
)(2
2222
22
a m dydz z y a I a a a a x =
+=⎰
⎰
--ρ 根据对称性得：.6
2
a m I I I z y x =
== 易知立方体的对角线与,Ox ,Oy Oz 轴的夹角都为,θ且,3
1cos =θ故立方体
饶对角线的转动惯量为
.6
cos cos cos 2
222a m I I I I z y x =
++=θθθ (1) 又由于
a d 3=, (2)
饶其对角线转动时的回转半径为
,m
I
k =
(3) 由(1)-(3)得.2
3d k =
例 3 一个塑料圆盘，半径为,R 电荷q 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω，求圆盘中心处的磁感应强度。

解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。

圆盘每秒转动次数为
πω2，圆盘表面上所带的电荷面密度为2
R q πσ=，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，它所带的电量为rdr dq πσ2⋅=，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为
rdr rdr dI ωσπ
ω
πσ⋅=⋅
⋅=22， 它在轴线上距盘心x 处的P 点所产生的磁感应强度为
rdr x r r x r dI
r dB ωσμμ2
322
2
02
322
20)
(2)
(2+=
+=
,)
(22
3223
0dr x r r +=
ω
σμ 故P 点处的总磁感应强度为
⎰
+=
R
dr x r r B 0
2
3223
0,)
(2
ω
σμ 变换积分
⎰⎰⎰+-+=+dr x r r x dr x r r dr x r r 23222
212223223)()()(
所以
]2[2
222
2
2
0x x R x x R B -+++=
ω
σμωπμ]22[2222220x x
R x R R q -++=， B 的方向与ω方向相同(0>q )或()0<q . 于是在圆盘中心0=x 处，磁感应强度.20R
q
B πωμ=
例 4 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。

解：设雨滴的本体为.m 由物理学知
.)(F mv dt
d
= (1) 1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。

对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为,r 则雨滴质量m 是与半径r 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是
31r k m =， (2)
其中1k 为常数。

2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即
,4222r k r k dt
dm
=⋅=π (3) 其中2k 为常数。

由(2)，得
.321dt
dr
r k dt dm ⋅= (4) 由(3)=(4)，得
.31
2
λ==k k dt dr (5) 对(5)两边积分：,0
⎰⎰=r a
t
t d dr λ得
,a t r +=λ (6)
将(6)代入(2)，得
.)(31a t k m +=λ (7)
3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式
,)(])([3131g a t k v a t k dt
d
+=+λλ (8) ,)(])([30
13
10
gdt a t k v a t k d t
v
+=+⎰⎰
λλ
,)(41
)(34131k a t g k v a t k ++=
+λλ
λ（3k 为常数） 当0=t 时，0=v ，故,4413λga k k -=].)
([43
4
a t a a t g v +-+=λλλ
高等数学中的积分在物理学中的应用
班级：机电3136
姓名：徐金辉
学号：31330631。