第四章
矩阵分析
一、向量范数
(1) x 0;
(2) x | | x ;
(3) x y x y .
1.几种常用的向量范数
x (1 , 2 ,, n ) C n ,
x 1 | i |;
i 1 n
n
x
1 p

max i ;
1i n
x
p
(8) k ( ) k k .
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1 ,2 ,,n ) (1 , 2 ,, n ) P.
X PY .
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2 ,,s ) span1,2 ,, s ;
dn ( ) mA ( ).
若A的特征值互不相同，则最小多项式与特征多 项式相同.
10.多项式矩阵 A( ) 的斯密斯标准形. 11.厄米特二次型.
二、矩阵的分解
1. 可逆矩阵的QR分解.
A (1 , 2 ,, n ). A (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 , , n )R QR.
2.设T是n维线性空间的线性变换
dim(T (V )) dim(T 1 (0)) n.
3. 线性变换的矩阵表示
T (e1 , e2 ,, en ) (e1, e2 ,, en ) A.
4. L(V ) 与 P
nn
同构
5. 线性变换在不同基下的矩阵是相似的
(1 ,2 ,,n ) (1 , 2 ,, n ) P.
则
S1 S2 S n .
2. 矩阵A的任一由k个盖尔圆组成的连通区域 内有且仅有A的k个特征值.
三、广义逆矩阵与线性方程组的解
1.设 A (aij ) C mn , 若 G 满足 AGA A ，则称 G 是 A 的减号逆，记为A .
2.
AA A A.
3. A 的求法
2. 单纯矩阵的谱分解.
1 ,2 ,,n , P (1 , 2 ,, n )
1 , ,, n ,
A Pdiag (1 ,2 , ,n ) P
1
1T T 2 (1 , 2 , , n ) diag (1 ,2 , ,n ) T n T T T 111 2 2 2 n n n 1G 1 2G 2 nGn
4.设 A C
nn
, A的行列式因子
Dk ( ), k 1, 2,, n.
5.设 A C
nn
, A的不变因子 dk ( ), k 1, 2,, n.
nn A C , A的初等因子. 6.设
7.求矩阵A的Jordan标准形及相似变换矩阵P.
8.哈密顿-凯莱定理.
nn A C , 求A的最小多项式. 9.设
2. 矩阵函数定义二.
A, mA ( ), f ( A) g ( A).
g ( ),
九、矩阵函数在微分方程中的应用
第五章
矩阵特征值的估计
一、特征值界的估计
H A AH A A (cij ), (bij ), C 1.设 A (aij ) C , B 2 2 A的特征值为 (1 , 2 ,, n ), 则
( | i p |) , (1 p );
i 1
n n R ( C ) 的向量范数是相互等价的. 2.有限维线性空间
二、矩阵范数
(1) A 0;
(2) A | | A ;
(3) A B A B . (4) AB A B .
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) C nn ,
(T ( x), T ( y)) ( x, y).
9. 对称变换
(T ( x), y) ( x, T ( y)).
内积空间的线性变换是对称变换的充要条件是 它在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵.
10. Hermite变换
(T ( x), y) ( x, T ( y)).
酉空间的线性变换是Hermite变换的充要条件是 它在标准正交基下的矩阵为Hermite矩阵.
第三章
矩阵的标准形
一、矩阵的标准形
1. T是n维线性空间的线性变换， T的属于特征 值 的特征向量.
T ( x) x.
2.设T是n维线性空间的线性变换, 如何求T的特 征值及与之相应的特征向量
T (e1 , e2 ,, en ) (e1, e2 ,, en ) A. x (e1, e2 ,, en ) . T ( x) T (e1, e2 ,, en ) (e1, e2 ,, en ) A .

i R.
f ( J1 ) f ( A) P
f (J2 )
P 1 , f (Js )
f (i ) f ( Ji )
f (i ) f (i )
1 f (i ) 2!
, f (i ) f (i )
的收敛半径为 R . A C nn 绝对收敛； 发散.
m c A ( A ) R , (1).若 则 m
(2).若 ( A) R, 则 cm Am
m 0
m 0
八、矩阵函数
1. 矩阵函数定义一.
A PJP ,
1
m c z m f ( z), z R. m 0
第一章
线性空间与内积空间
一、线性空间的基本概念
1.线性空间: P是一个数域，V是一个非空集合.
(1) ; (2) ( ) ( );
(3) ; (4) ( ) ; (5)1 ;
(6) k (l ) (kl ) ; (7) (k l ) k l ;
5.反厄米特矩阵的特征值全零或纯虚数.
二、圆盘定理
1.设 A (aij ) C nn , 是 A 的特征值，
Si z | z aii Ri , i 1, 2,, n,
Ri ai1 ai 2 ai ( i 1) ai ( i 1) ain ,
T (1 ,2 ,,n ) (1,2 ,,n ) A. T (1,2 ,,n ) (1,2 ,,n ) B.
B P AP.
6. 不变子空间
1
7. 正交变换
(T ( x), T ( y)) ( x, y).
正交变换在V的任意一组标准正交基下的矩阵为 正交矩阵 8. 酉变换

4.
A 的性质
5.
A C mn , 齐次线性方程组 Ax 0 的通解
x ( En A A) y,
y Cn.
6.
A C mn , 非齐次线性方程组 Ax b 的通解
x Ab ( En A A) y,
y Cn.
数域P上的任意两个n维线性空间是同构的.
二、内积空间的基本概念
1.内积空间
(1) ( x, y) ( y, x);
(2) ( x, y ) ( x, y ); ( x y , z ) ( x, z ) ( y , z )
(3) ( x, x) 0.
x1 , x2 , , xn 是V的一组基，求与 2.设 V是n维空间， x1 , x2 , , xn 等价的正交单位向量组.
四、函数矩阵的极限、微分、积分
五、函数矩阵对矩阵的微分
矩阵 Z 对矩阵 X 的导数
六、矩阵级数 1.方阵级数 A

数
收敛的充要条件是对任一方阵范 m 0 ，正项级数 Am 收敛.
m m 0
七、矩阵幂级数
1.设复变数幂级数m0 的谱半径为 ( A).
m c z m
A ,
( E A) x 0.
3.设T是n维线性空间V的线性变换, 如何判断V中 是否存在一组基，使得T在该基下的矩阵是对 角阵
T (e1 , e2 ,, en ) (e1, e2 ,, en ) A. P1 AP B, (1,2 ,,n ) (e1, e2 ,, en ) P. T (1,2 ,,n ) (1,2 ,,n ) B.
A (aij ) R
mn
,
N ( A) {x | Ax 0}, R( A) L(1, 2 ,, n );
V1 V2 , V1 V2 ;
6.维数公式.
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ).
7.线性空间的同构.
( x y) ( x) ( y); ( x) ( x).
A 1 max | aij |;
1 j n i 1 n n n
1 2
A max | aij |;
1i n
n
A
F
( | aij 2 |) (tr ( AH A)) .
i 1 j 1
1 2
j 1
UA
F
A
F
AU
F
.
三、向量与矩阵的极限
m nn { A } 收敛于 O 的充要条件 A C 1.矩阵 的序列 是 ( A) 1. .
(3) ( x, x) 0.
三、最小二乘法
1.已给不相容线性方程组 Ax b, 求此方程组的 最小二乘解
AT Ax AT b,
是最小二乘解满足的代数方程.
第二章
线性变换
1.线性变换
(1) T ( x y ) T ( x ) T ( y ); (2) T ( x ) T ( x ).