②if is optimal in theexpenditureminimizationproblemwhen therequiredutilitylevelis , then is optimal in theutilitymaximizationproblem when wealthis . Moreover, themaximizedutilitylevel in thisutilitymaximizationproblem isexactly .
3)Hal Varian，Microeconomic Analysis，中译本，
4)Eugene Silberberg and Wing Sun，2000，The Structure of Economics: a Mathematical Analysis, 3rdedition, McGraw-Hill Higher Education
在各种能够实现的消费方案中，消费者选择他最偏好的消费方案。
二、偏好关系和效用函数
Debreu (1959)
1、偏好关系
①、关系、两元关系
②、两元关系 的定义：定义在消费集 上，反映 中任意两个点之间的关系： ，如果有 ，则对该消费者而言，“ 至少和 一样好”，或者，“在 和 之间，消费者弱偏好 ”
③、偏好公理（实际上界定了消费者的理性状态。）
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
例题：消费者的效用函数为 ，求马歇尔需求函数。
解：设商品1和商品2的价格分别为 ，消费者收入为 。消费者的决策为：
构造拉格朗日函数：
最优解 满足一阶条件：
解得马歇尔需求函数：
消费者的最大效用为：
间接效用函数为：
定理1.5
马歇尔需求函数 的可导性：
从数学上，此问题便是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。
人们可以证明：任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能够被用一个连续实值函数来表达。可代表性并不依赖于凸性或单调性。但为了证明的简化，我们加上单调性。
定理1.1：代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系 是完备的、可传递的、连续的及严格单调的，那么，必存在一个连续的实值函数 代表偏好关系 。
支出函数 为：
两元空间支出最小化：
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与 相对应，因此可以把所要实现的效用水平 写作 。
可以写为：
支出函数可以表述为在给定价格 下，实现消费束 所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格 下，实现实际购买力 所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。
为了建立偏好关系与效用函数之间的关系，在理性偏好公理的基础上，还要对偏好做出性质上的其它假设。
公理三：连续性公理：对于选择集 中的任何元素 ， 和 在 中为闭集。
（偏好关系的连续性排除了消费者行为的不连续性即跳跃性。该公理也可以表述为：如果一个消费序列中的每一个消费束都至少和另一个消费束一样好，那么该消费束的极限也应至少好于那个消费束。 ，便好关系的连续性排除了无差异曲线的开区间。无差异曲线是上面两个闭集的交集，故还是闭集。同时也意味着严格偏好集是一个开集。）
劣集 的定义：
证明间接效用函数 在 上拟凸，只需证明其劣集 为凸集。
在 中选两点，设 ， ，取 ，我们要证明
。也就是说，对于任何满足 的最优解 ，我们得证明 。
三种可能性：
和
6、间接效用函数
例题：
证明 满足间接效用函数的特征
支出函数
给定价格 实现某一效用水平 所需的最小支出：
最优解为希克斯需求函数 ，最小支出为
证明：
1、在 取最低效用水平时，支出函数 为零
取最低效用水平： ，即
支出函数
2、在定义域 上连续
3、对于所有的 ，支出函数在 上递增并且无上界
根据包络定理：
拉格朗日函数：
（一阶条件）
4、在价格 上递增
5、在价格 上一阶齐次性
6、 在价格 上为凹函数
固定效用为 ，取价格 ， ，设在价格为 时最优解为 ，支出函数为
高级微观经Байду номын сангаас学
课本：
参考书：
1)Andreu Mas-Colell，Michael D. Whinston and Jerry R. Green，1995，Microeconomic Theory，Oxford University Press；中译本：《微观经济理论》，经济科学出版社
2)David Kreps，1992，
严格单调性公理使得与 无差异的消费集一定是一条向下倾斜的直线。）
由公理4可以推出公理3，但反之不行。
公理五：凸性定理：如果 ，那么，对于所有的 ，有 。
公理五：严格凸性定理：如果 ，那么，对于所有的 ，有 。
凸性但非严格凸性
严格凸性
含义：
平均优于极端
边际替代率递减
它排除了无差异曲线向原点凹的部分。
递减
不变和 上升
效用函数
由于偏好关系不便于进行数理推导，人们希望采用效用函数来代表偏好关系，从而简化消费者理论的分析。一个效用函数被定义为：
定义代表偏好关系 的效用函数
定义：实值函数 ，如果对于所有的 ，有 ，则该函数被称为反映偏好关系 的效用函数。
（即：如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏好的消费束，那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。）
3、偏好关系（指在同一消费集中，两个消费束哪个更受消费者偏好。）
4、行为假设
The consumer seeks toidentifyand select anavailablealternativethat ismostpreferredin the light of his personal tastes.
消费者的问题：
此最大化问题是否有解：
是否有唯一解：
定理A1.10：极值的存在性定理
设 是非空紧集， 是连续的实值映射，则存在向量 和向量 ，对于所有的 ，有
证明：
连续
：非空、闭集、有界集
定理A2.14：目标函数严格拟凹
消费者的问题： 的解：
马歇尔需求函数
1、两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交 相切 不相交
①If is optimal in theutilitymaximizationproblem when wealth is , then is optimal in theexpenditureminimizationproblem when therequiredutilitylevelis . Moreover, theminimizedexpenditurelevel in thisexpenditureminimization problem isexactly .
消费方案 ：
商品：
1)商品数量无限可分： ，商品数量是连续的。
2)商品数量非负：
3)商品种类为：
消费方案（选择方案，消费束）：
特征：
1、非空集( ,否则没有研究意义)
2、X闭集（连续性）
3、凸集
4、包含原点： （消费者可以选择不消费，这也是选择集合的下限）
2、可行集 （可选择的消费束）：制度约束、经济约束等限制之后仍保留下来的消费集合。
公理四‘：局部非饱和性公理：对于任何 ， ，始终存在着某个 ，有 。
含义：不存在任何消费束令消费者达到满足的极限，总有更为偏好的消费束存在。）
局部非饱和性使得与 无差异的消费集是一个(n-1)为空间，在二维空间中表现为一条直线。
公理四：严格单调性公理：对于所有的 ，如果 ，有 ；如果 ，那么
含义：
多多益善（如果消费束 的每一种商品至少和 一样多，那么 至少和 一样好；如果消费束 的每一种商品至少和 一样多，且 至少有某一个商品严格地多于 相应的商品，那么 严格偏好 ）
在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。
支出函数 的特征
1.在 取最低效用水平时，支出函数 为零
2.在定义域 上连续
3.对于所有的 ，支出函数在 上递增并且无上界
4.在价格 上递增
5.在价格 上一阶齐次性
6.在价格 上为凹函数
7.如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
根据包络定理
例子：消费者的效用函数为 ，求希克斯需求函数和支出函数。
解：
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
，
马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：
Suppose that is a continuousutilityfunctionrepresenting a locally nonsatiatedpreferencerelation defined on theconsumptionset and the price vector is . We have
④⑤⑥
公理一：完备性公理：对于选择集 中任意的两个要素 和 ，有 或
含义：
消费者能够做出选择
消费者具有无限的认知能力
消费者具有无限的判断能力
公理二：传递性公理：对于选择集 中任何的三个要素 、 和 ，如果 和 ，则有 。
含义：
消费者的选择具有一致性
保证了消费者能够选择一个最偏好的商品组合
偏好关系
（弱）偏好关系：消费集 上的两元关系，如果满足公理一和公理二，就是偏好关系。
间接效用函数在 上零阶齐次性：
3、间接效用函数 在 上严格递增
应用包络定理：