东北师大附属中学高三一轮导学案：椭圆及其标准方程B
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椭圆及其标准方程(学案)B 一、 知识梳理：
1. 椭圆的定义
定义的理解:当2a=2c 时, ; 当2a<2c 时,
2.椭圆的标准方程:焦点在x 轴上的标准方程: + =1(a>b>0)．焦点在y 轴上的标
准方程: + =1(a>b>0)
两种方程可用统一形式表示:A + B =1 (A>0,B>0且A B) ,当A<B 时,焦点在 轴
上,当A>B 时,焦点在 轴上; 对椭圆的两种标准方程，都有()0>>b a ，焦点都
在长轴上，且a 、b 、c 始终满足2
22b a c -=
3.椭圆焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看分母大小,如果大于的分
母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 上.
4.椭圆的几何性质
对于椭圆 + =1(a>b>0) (1) 范围:由标准方程+ =1(a>b>0)可知,|x| a , |y|b,说明椭圆位于直线
x=y=所围成的矩形内;
(2) 对称性: 椭圆+ =1(a>b>0) 关于直线x 轴,y 轴,及原点对称;
(3) 顶点:, 是椭圆与x 轴的两个交点,
,是椭圆与y 轴的两个交点.线段、分别叫椭圆的长轴与短轴，它们的长分别是
2a ，2b ；a ，b 分别叫椭圆的半长轴长与半短轴长。
(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比值e=叫椭圆的离心率，范围：（0，1），越
接近于0越圆，越拉近于1越扁，常用=1-；椭圆上点到焦点和直线x=的距离之比等于离心率，由此可以求出椭圆上的点到相应的焦点的距离（焦半径）|p|=a+e |p|=a-e
(5)椭圆的参数方程：椭圆+ =1(a>b>0)的参数方程为：（）为
参数
(6)二次曲线的弦长公式：
整理得到x的方程：
整理得到y的方程：
二、题型探究
探究一：椭圆的标准方程（求椭圆方程常用方法：待定系数法）
例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），椭圆上的点P到两个焦点的距离之和为10；
（2）、椭圆经过两点A（-1.5,-2.5），B()
（3）、椭圆+ =1 的离心率为 .
探究二：椭圆的几何性质
例2：已知,为椭圆+ =1(a>b>0)的左、右焦点，过作椭圆的弦AB，若
的周长为16，|A |、||、| A|成等差数列，求椭圆的方程。
探究三：直线与椭圆
例3：已知,分别为椭圆+ =1(a>b>0)的左、右焦点，过斜率为1的直线a
与椭圆交于A，B 两点，且|A|、||、| B|成等差数列，
（1）、求椭圆的离心率；
（2）、设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆的方程。
三、方法提升
（1）、熟练掌握椭圆的标准方程，特别是a，b，c，e四个数值的换算关系；（2）、掌握椭圆的定义、几何性质，通过运算得到的椭圆特殊结论要留下深刻印象；（3）、为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的办法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中极为重要。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是（）
(A)
2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ） (A)21 (B)23 (C)33 (D)2
1或23 3、椭圆13
62
2=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为（ ）
（A ）3 （B ）2
33 （C ）34 （D ）4 4、方程m
y x ++16m -252
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）(A)-16<m<25 (B)-16<m<
29 (C)29<m<25 (D)m>2
9
5、已知椭圆x y m
22
51+=的离心率e=105，则m 的值为（ ） (A)3 (B)3或253 (C)15 (D)15或53
15 6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 （ ）
(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)
32倍 7、椭圆ax 2＋by 2＋ab=0(a<b<0)的焦点坐标为（ ）
(A)(0，±a b -) (B)(±a b -，0)
(C)(0，±b a -) (D)(±b a -，0)
8、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 （ ）
(A)2)D (25
)C (22
)B (23
9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= （ ）
A)23 (B)21 (C)33 (D)31 10、曲线19y 25x 22=+与曲线1m
9y m 25x 2
2=-+-(m<9)一定有（ ） (A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线
二、填空题
11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为____ ____；
(2)对称轴是坐标轴,离心率等于32
，且过点(2，0)的椭圆的方程是____ ___ 12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是 ____ _____ ；
(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是_______ ___
13.已知椭圆x a y a
22
22+=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是____ 14.已知椭圆x m y 2241+=的离率为12
，则m=
三、解答题
15、求椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的内接矩形面积的最大值.
16．已知圆2
2y x +＝１，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段ＰＰ′，求线段Ｐ
Ｐ′的中点M 的轨迹.
17．△ABC 的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-
94，求顶点A 的轨迹方程.
18．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F ,Ｐ为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和||2PF 的等差中项.
(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .。