GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理译自Alfred Lehar，Martin Scheicher，Christian Schittenkopf ：GARCH vs. stochastic volatility:Option pricing and risk management摘要：在本文中，我们比较了B-S期权定价模型的两种通常延伸的样本绩效，即GARCH(广义自回归条件异方差)和SV（随即波动）。

我们为日内的FTSE 100（英国富时100指数）期权价格校正了三个模型并且采用了两套绩效标准，即样本估价误差和风险值调整措施。

当我们分析模型结果和观测价格的一致性时，GARCH明显优于SV和标准B-S模型。

然而，假定的金融衍生工具持仓量的市场风险预测显示出相当大的误差。

与实际盈亏的符合程度较低并且两个模型间没有明显的差别。

因此，总体来说，我们注意到如果只是基于定价的目的而不是VaR预测，则期权定价模型越复杂越能改进B-S方法。

1.引言在任何金融市场中，金融衍生工具的恰当估价对从业者来说都至关重要。

金融衍生工具如今是投资者投资组合的主要组成部分。

金融衍生产品的流通量和成交量从20世纪70年代开始就显著增长，该事实充分反映了金融市场的这一发展。

对市场参与者而言，主要的问题是由标准B-S模型得到的价格与观测价格显著不同。

这些系统估价误差可以由一个被称作“微笑”效应的特征事实证明如下：当波动性避开期权价格与价值状况和到期日发生冲突时，理论模型预测的结果就严重偏离事实。

这些理论误差表明实际上波动率不是恒定的而是随时间变化的。

这一结果与几何中布朗运动的恒定变动框架形成了对比，而布朗运动是B-S方法的基础。

定价误差源于不切实际的假定，而且对市场参与者测定其投资组合的市场风险产生了严重的后果。

在最近的几年中，监管部门已经允许金融机构使用内部风险模型来测定市场误差并分配经济资本。

基于这些目的，VaR已成为最常见的方法（概念）。

它测算了在一到十天的持有期内给定可能性的情况下，由不利的价格变动引起的可能的投资组合损失。

在CAD（资本充足指引）的基础上，监管部门要求大型银行和证券公司每天计算其投资组合的VaR值。

期权定价模型是marking-to-model systems（标记-模型系统）的关键组成部分，银行运用此系统来计算其交易活动的管理资本和经济资本。

由于以下一系列的原因，计算金融衍生工具持仓量的潜在损失极具挑战性。

首先，因为期权收益分配是基本资产收益分配的复值函数，所以期权是非线性金融衍生工具。

风险因子的数目会增加，维珈风险也需要俘获（确定）。

其次关于基本资产的期权收益分配的含义被曲解为正态分布是一个准确度有限的近似值。

由于这些原因，致力于风险管理的实践者已经恢复了对学术研究文献中提及的期权定价模型的兴趣。

本文的目的是在三种常用的波动参数化法的基础上比较期权定价模型，这三种波动参数化方法是:恒定波动率，GARCH和随即波动率。

我们运用两套标准来完成这一比较评估：统计和经济损耗函数，首先，我们测定涉及观测期权价格的误差。

然后测试三种模型的匹配性来预测假定持仓量的市场风险。

在这一过程中恒定波动率法自然是基准检测步骤。

通过再造微笑现象，一项更复杂的规范可能降低定价误差。

先前的比较研究表明，如果为基础工具的随机过程采用更好的技术参数，那么的确可以降低B-S模型的定价误差。

我们的比较研究的中心是风险管理的三种评估方法的效果。

因此我们通过分析假定期权持仓量的VaR值扩展了这一著作。

到目前为止，当定价模型用于计算金融衍生工具的VaR值时其表现如何还没有证据。

在这一观点下，我们的研究填补了一道实践者极其感兴趣的鸿沟。

我们分三步进行论述。

首先，我们通过非线性最小平方和过程来估计高频富时100期权价格中的三个随机过程。

从而，恒定波动率的单参数案例可以推广为更复杂的随机过程。

估计结果是中性风险者的参数。

这对于研究方法而言是一个明显的优势，这些研究方法中的参数首先由收益序列估计，然后经过调整用于风险中性评估。

因此，我们的信息集不限于历史的股票价格，而是包含关于远期价格过程的市场预期。

凭借这种统一标准的估计，直接阐明了两个最流行的变量模型——GARCH和SV 的优缺点。

其次，我们通过有关观测价格的中值误差测定样本外的定价效能并且达到降低价值状况和到期日偏差的程度。

我们发现较复杂的波动模型优于较简单的隐含波动法。

然而，模型选择至关重要：只有GRACH模型在定价效能方面提出有效改进。

相反，SV的中值定价误差接近于那些波动率恒定的基准模型。

第三步是风险管理应用，其中我们依靠蒙特卡罗模拟运用完全评价法来计算下一天的VaR值。

我们比较假定持仓量的的盈亏一致性。

我们的测试表明盈/亏分配的两端建模匹配性较差。

尤其是GARCH 和SV无法对基准B-S模型作出改进。

因此，我们决定依靠效能指标来为模型排名。

虽然我们在样本定价效能中找到了很大的改进余地，但这些都没有在投资组合总市值的变动分配预测中反映出来。

所以，尽管定价误差有所下降，我们却无法改进期权交易中实际的翌日损/益建模系统。

方法论中的这些差异值得注意，因为到目前为止文献大多关注定价效能。

本文的其余部分组成如下：第二部分描述数据集。

第三部分给出了三种期权定价模型的详细说明。

第四部分包含实证结果。

在第五部分我们记录了来自于VaR应用的估计结果和调查结果。

我们在第六部分总结了我们的研究成果并为未来的研究提供了意见。

2.样本和评估方法我们的样本由伦敦国际金融期权期货交易所的富时100指数基础上的欧式期权交易数据构成。

期权价格与富时100和精确到秒的时间标记同步记录。

我们的高频观察值始于1993年1月4日，止于1997年10月22日，覆盖了1210个交易日。

样本包含102211个成交的看涨期权和看跌期权。

第一步要仔细检查数据的交易误差以及价格是否存在套利机会。

然后所有合约的到期时间不超过两周，价格在五点以下，价值状况在[-0.1,0.1]范围之外，去掉年度隐含波动率低于5%或高于50%的数据。

最终的数据集包含65549个期权合约（33633个看涨期权和31916个看跌期权）。

表1样本统计分析最小值10%分位数25%分位数50%分位数75%分位数90%分位数最大值富时100指数2727.73015.43204.03740.34274.14836.55366.敲定价2525297532253725422547755875期权价格510224892153843到期时间1417284278170368利率 4.28 5.24 5.64 5.89 6.35 6.777.58股息收益率 3.01 3.32 3.64 3.88 4.02 4.14 4.36隐含波动率 5.029.1010.8014.0717.2819.9748.52表1给出了期权合约的简要描述。

我们公布了样本特征值的最小值，百分之十分位数，百分之二十五分位数，百分之五十分位数，百分之七十五分位数，百分之九十分位数和最大值。

取样周期内，富时100指数从大约2700点攀升到5000点以上。

因此执行价从2525到5875不等。

所有期权合约的平均到期时间是42天。

最长的合约到期时间超过一年。

表1中我们也记录了富时100的无风险利率和事后股息收益率的统计数据，这些数据被应用到期权定价模型中。

最后记录了所有期权隐含波动率的百分位数。

平均隐含波动率约为14%，80%的合约的隐含波动率介于9%到20%之间。

由于样本包含1210个交易日内的65549个期权合约，因此平均每天交易的合约数目大约为54.但是，交易行为并不是平均分布的。

交易量最少的一天是1993年5月4日，只记录了7笔交易，而在交易量最多的1997年7月16日成交了351笔交易。

因此，每天重估期权定价模型毫无意义。

另一方面，我们需要在相对较短的时间间隔内重估模型以便调整参数。

在试验计划中我们运用了滑窗技术。

时间窗口规格是10个交易日，意味着期权合约是在10天内收集成的。

在这一数据集合中，参数是通过相对定价误差平方最小化来估计的。

其中N时间窗口中的合约数目，而和分别表示观测期权价格和理论期权价格。

我们选择相对定价误差因为在参数估计中绝对定价误差高市价的期权比重太大。

然后在另一个10天的时窗内测试样本外的模型。

最后，变动10天时窗并再估模型。

总共研究了120个期权数目从114到1357的时窗。

这一过程看来是在数据集规格（市场有效信息的数量）和估算值时间相关性之间的合理取舍。

3.理论框架3.1.Black-Scholes模型Black和Scholes（1973）在他们开创性的论文中导出这样的结果：风险中性测度下标的股票价格S的动态分析是一个物理测度情况下波动率恒定的几何布朗运动（在附加条件下：如恒定无风险利率，无交易成本等）。

然而，偏差用无风险利率减去股息收益率代替：其中是一个维纳过程。

尤其要注意的是，波动率被假定为恒定的。

由于方程（2）的结果，带有敲定价K的欧式看涨期权的价格由下式给出：其中T-t是期权到期时间且欧式看跌期权价格可由下式得到：给定一组观测期权价格，可以以最小的定价误差估计（隐含）波动率。

正如第二部分描述的一样，参数是在十交易日内估计的从而使SRPE最小化。

3.2.Hull-White期权定价模型Hull和White（1987）提出了一个期权定价模型，其中股票价格S和即时方差V遵循以下随即过程：其中参数a和b决定了长期均值和对于方差的均值回归速度，可以解释为波动率的波动率。

两个维纳过程和有相关系数。

在该模型中有两个不确定来源，即资产价格未来轨迹和波动率的未来轨迹。

在上述参数化过程中，波动性风险价格设定为0,。

这一假设意味着波动性风险不存在风险溢价。

与此相反，Heston（1993）已经引入了一个具有非零波动性风险价格的闭式模型。

Hull-White模型考虑到了期权价格波动率的相关系数和波动率（波动率的波动率）的影响。

波动率的波动率较高意味着收益的风险中性分布显示出较高的峰度。

对该模型来说，出现最大限度的盈利和亏损比资产价格遵循对数正态分布的Black-Scholes模型可能性更大。

当收益冲击和波动率冲击之间的相关系数为0时，风险中性分布是对称的、尾肥的。

相关系数的符号决定了分布的对称性。

考虑到相关系数为负的实证相关案例，收益风险中性分布的左尾比右尾包含更多的机率质量。

正如Abken和Nandi(1996)讨论的一样，负偏斜性对定价有影响： B-S定价模型对价外看涨期权定价过高。

为使参数估计的计算可行，像Hull和White（1988）模型中一样，我们运用泰勒级数展开。

假定时刻t的方差为其长期均值V=-a/b且未来轨迹由方程（6）说明。