高一数学练习试题答案及解析1.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．2.若向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量平行的坐标平面是（）A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能【答案】B【解析】根据向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，设出向量的坐标，并用与坐标轴平行的单位向量表示出来，即可找到答案．解：设=（a，0，b），（a≠0，b≠0）∴（分别是x，z轴上的单位向量）∴与向量平行的坐标平面是xoz平面．故选B．点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系．3.试解释方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36的几何意义．【答案】在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．【解析】题中式子可化为：，只要利用两点间的距离公式看看它所表示的几何意义即可得出答案．解：在空间直角坐标系中，方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36即：方程表示：动点P（x，y）到定点（12，﹣3，5）的距离等于定长6，所以该方程几何意义是：在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．点评：本题主要考查了球的性质和数形结合的数学思想，是一道好题．4.在空间，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B．有一组对边平行的四边形一定是平面图形C．四边相等的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形【答案】B【解析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．解：对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故B正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故C不正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D不正确．点评：本题考查平面的基本性质和推论，解题时要认真审题，仔细解答，注意确定一个平面的条件．5.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b∈α②只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β．③a可能在平面α内④命题正确．解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选B．点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．6.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1B．1或2C．3D．1或3【答案】D【解析】利用平面的基本性质及推论即可求出．解：由平面的基本性质及推论可知：两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3．①a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c在平面α内，则直线a、b、c确定一个平面；②a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c不在平面α内，则直线a、b、c确定三个平面；如图．故选D．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键．7.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．8.已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为；②过B点的中线长为；③过C点的中线长为．【答案】2；；【解析】根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果．解：设AB 的中点E，BC的中点F，AC的中点G，∵三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），∴E（），F（4，1，﹣2），G（，﹣，3）∴|AF|=2，|BG|=，|CE|=，故答案为：2；；点评：本题考查两点之间的距离公式，是一个基础题，注意三角形的中线是一条线段，是指顶点到对边中点的距离，本题是一个送分题目．9.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P（4，1，2）的距离为．【答案】点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．【解析】设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．解：设点P的坐标是（x，0，0），由题意，即，∴（x﹣4）2=25．解得x=9或x=﹣1．∴点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，是一个基础题，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．10.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．11.已知两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为（）A．B．C．19D．11【答案】A【解析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点间的距离．解：两点M1（﹣1，0，2），M2（0，3，﹣1），此两点间的距离为：=故选A．点评：本题是基础题，考查空间两点间的距离的求法，注意正确应用距离公式，考查计算能力．12.若向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量平行的坐标平面是（）A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能【答案】B【解析】根据向量在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，设出向量的坐标，并用与坐标轴平行的单位向量表示出来，即可找到答案．解：设=（a，0，b），（a≠0，b≠0）∴（分别是x，z轴上的单位向量）∴与向量平行的坐标平面是xoz平面．故选B．点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系．13.在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．【答案】（0，0，）【解析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）点评：本题考查两点之间的距离公式，不是求两点之间的距离，而是应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个基础题．14.已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为；②过B点的中线长为；③过C点的中线长为．【答案】2；；【解析】根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果．解：设AB 的中点E，BC的中点F，AC的中点G，∵三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），∴E（），F（4，1，﹣2），G（，﹣，3）∴|AF|=2，|BG|=，|CE|=，故答案为：2；；点评：本题考查两点之间的距离公式，是一个基础题，注意三角形的中线是一条线段，是指顶点到对边中点的距离，本题是一个送分题目．15.点M（4，﹣3，5）到原点的距离d= ，到z轴的距离d= ．【答案】；5【解析】直接利用空间两点间的距离公式，求出点M（4，﹣3，5）到原点的距离d，写出点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d，即可．解：由空间两点的距离公式可得：点M（4，﹣3，5）到原点的距离d=到z轴的距离d==，点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d==5故答案为：；5点评：本题是基础题，考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．16.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．17.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．18.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b∈α②只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β．③a可能在平面α内④命题正确．解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选B．点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．19.下面四个命题，正确的是（）A．己知直线a，b⊂平面α，直线c⊂平面β，若c⊥a，c⊥b，则平面α⊥平面βB．若直线a平行平面α内的无数条直线，则直线a∥平面αC．若直线a垂直直线b在平面a内的射影，则直线a⊥bD．若直线a，b．c两两成异面直线，则一定存在直线与a，b，c都相交【答案】D【解析】在A中，只有当a，b相交时，才有平面α⊥平面β；在B中，当直线a平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α；在C中，直线a垂直直线b在平面a内的射影，则直线a，b相交或垂直；在D中，若直线a，b．c两两成异面直线，则一定存在直线与a，b，c都相交．解：在A中，只有当a，b相交时，才有平面α⊥平面β，故A不正确；在B中，当直线a平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α，故B不正确；在C中，直线a垂直直线b在平面a内的射影，则直线a，b相交或垂直；在D中，若直线a，b．c两两成异面直线，则一定存在直线与a，b，c都相交，故D成立．故选D．点评：本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C两个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解：不共线的三点确定一个平面，故A不正确，四边形有时是指空间四边形，故B不正确，梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．21.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1B．1或2C．3D．1或3【答案】D【解析】利用平面的基本性质及推论即可求出．解：由平面的基本性质及推论可知：两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3．①a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c在平面α内，则直线a、b、c确定一个平面；②a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c不在平面α内，则直线a、b、c确定三个平面；如图．故选D．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键．22.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．23.已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】用向量减法坐标法则求的坐标，再用向量模的坐标公式求模的最小值．解：=（1﹣t﹣2，1﹣t﹣t，t﹣t）=（﹣t﹣1，1﹣2t，0）==（﹣t﹣1）2+（1﹣2t）2=5t2﹣2t+2∴当t=时，有最小值∴的最小值是故选项为C点评：考查向量的坐标运算法则及向量坐标形式的求模公式．24.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（2，﹣3，5）D．（3，0，4）【答案】A【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．解：到A项点的距离为=，到B项点的距离为=3到C项点的距离为=到D项点的距离为=5故选A点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．属基础题．25.已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为；②过B点的中线长为；③过C点的中线长为．【答案】2；；【解析】根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果．解：设AB 的中点E，BC的中点F，AC的中点G，∵三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），∴E（），F（4，1，﹣2），G（，﹣，3）∴|AF|=2，|BG|=，|CE|=，故答案为：2；；点评：本题考查两点之间的距离公式，是一个基础题，注意三角形的中线是一条线段，是指顶点到对边中点的距离，本题是一个送分题目．26.在空间直角坐标系O﹣xyz中，z=1的所有点构成的图形是．点P（2，3，5）到平面xOy的距离为．【答案】过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．【解析】空间直角坐标系中，z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，点P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故可算出点到平面的距离．解：z=1表示一个平面，其与xoy平面平行且距离为1，故z=1的所有点构成的图形是过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面P（2，3，5）到平面xOy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关，由于平面xOy的方程为z=0，故点P（2，3，5）到平面xOy的距离为|5﹣0|=5故答案应依次为过点（0，0，1）且与z轴垂直的平面；5．点评：本题考点是空间直角坐标系，考查空间直角坐标系中点到面的距离的计算方法与空间中面的表示方法．（4，1，2）的距离为．27.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P【答案】点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．【解析】设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．解：设点P的坐标是（x，0，0），由题意，即，∴（x﹣4）2=25．解得x=9或x=﹣1．∴点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，是一个基础题，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．28.如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，A'C'于B'D'相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．【答案】C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．【解析】别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3和长方体在坐标系中的位置，写出B′点的顶点坐标是（3，4，3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点P的坐标．解：分别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，则C点的坐标为（0，4，0），D′点的坐标为（0，0，3），B'点的坐标为（3，4，3），由中点坐标公式得：P的坐标为．故答案为：C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．点评：本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具．29.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．30.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．【答案】见解析【解析】找出P点在横轴和纵轴上的投影，以这两个投影为邻边的矩形的一个顶点是点P在xOy坐标平面上的射影，过这个射影对应的点作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到要求的点．解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题的关键是能够想象出空间图形，是一个送分题目．。