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初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)-

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)一.选择题(共12小题)1.1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一.则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是()A.6万纳米B.6×104纳米C.3×10﹣6米D.3×10﹣5米2.足球循环赛中,红队胜黄队4:1,黄队胜蓝队2:1,蓝队胜红队1:0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是()A.红队2,黄队﹣2,蓝队0 B.红队2,黄队﹣1,蓝队1C.红队3,黄队﹣3,蓝队1 D.红队3,黄队﹣2,蓝队03.要使为整数,a只需为()A.奇数B.偶数C.5的倍数D.个位是5的数4.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是()﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A.25% B.37.5% C.50% D.75%5.有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为()A.2 B.﹣1 C .D.20086.有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=()A.1 B.±1 C.﹣1 D.07.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:16进制0123456789A B C D E F 10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=()A.16 B.1C C.1A D.228.若ab>0,且a+b<0,那么()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>09.如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是()A.a1+a2+a3+a7+a8+a9=2(a4+a5+a6)B.a1+a4+a7+a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)C.a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D.(a3+a6+a9)﹣(a1+a4+a7)=(a2+a5+a8)10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文⇒密文(加密),接收方由密文⇒明文(解密),已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z 依次对应0,1,2,…,25这26个自然数(见表格),当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是()A.wkdrc B.wkhtc C.eqdjc D.eqhjc11.设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是()A.y没有最小值B.只有一个x使y取最小值C.有限个x(不止一个)y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值12.若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=()A.C135B.C136C.C1311D.C127二.填空题(共10小题)13.2.40万精确到位,有效数字有个.14.如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是(填入M、N、P、R中的一个或几个).15.为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算:1+5+52+53+…+52015的值是.16.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为:;按此方式,将二进制(1101)2换算成十进制数的结果是.17.请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:1⊕2=2⊕1=3,(﹣3)⊕(﹣4)=(﹣4)⊕(﹣3)=﹣,(﹣3)⊕5=5⊕(﹣3)=﹣,…你规定的新运算a⊕b=(用a,b的一个代数式表示).18.我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2.若x、y均为整数,且满足1<<3,则x+y的值.19.符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:(1)G(1)=1,G(2)=3,G(3)=5,G(4)=7,…(2)G()=2,G()=4,G()=6,G()=8,…利用以上规律计算:G(2010)﹣G()﹣2010=.20.a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子:①a﹣b<0;②a+b<0;③ab<0;④ab+a+b+1<0中一定成立的是.(只填序号,答案格式如:“①②③④”).21.若|x|=2,|y|=3,且<0,则x+y=.22.王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,….请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=.三.解答题(共18小题)23.计算:++++…+.24.请你仔细阅读下列材料:计算:(﹣)÷(﹣+﹣)解法1:按常规方法计算原式=(﹣)÷[+﹣(+)]=(﹣)÷(﹣)=(﹣)×3=﹣解法2:简便计算,先求其倒数原式的倒数为:(﹣+﹣)÷(﹣)=(﹣+﹣)×(﹣30)=﹣20+3﹣5+12=﹣10故(﹣)÷(﹣+﹣)=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算:(﹣)÷(﹣+﹣).25.已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1.(1)求2※4的值;(2)求(1※4)※(﹣2)的值;(3)任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果:□※○和○※□;(4)探索a※(b+c)与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来.26.若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值.27.有理数a、b、c在数轴上的位置如图:(1)判断正负,用“>”或“<”填空:b﹣c0,a+b0,c﹣a0.(2)化简:|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|.28.(1)阅读下面材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|;当A,B两点都不在原点时,①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a ﹣b|;②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a ﹣b|;综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是;②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为;③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.④当x= 时,|x+1|+|x﹣2|=5.29.请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:(1)999×(﹣15)(2)999×118+999×(﹣)﹣999×18.30.同学们都知道:|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索:(1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为.(3)如果|x﹣2|=5,则x=.(4)同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是.(5)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,直接写出最小值;如果没有,说明理由.31.阅读材料:求值1+2+22+23+24+…+22014解:设S=1+2+22+23+24+…+22014①,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得:S=22015﹣1,即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)32.小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题:“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”.小红说:“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”小明说:“利用数轴可以解决这个问题.”他们把数轴分为三段:x<﹣1,﹣1≤x≤2和x>2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题:(1)当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是.(2)已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值.写出解答过程.33.(1)阅读下面材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|;当A,B两点都不在原点时,①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a ﹣b|;②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a ﹣b|;综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是;②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为;③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.34.计算:(×)×(×)×(×)×…×(×)×(×).35.小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家.(1)以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗?(2)小彬家距中心广场多远?(3)小明一共跑了多少千米?36.已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c﹣5)2+|a+b|=0,请回答问题(1)请直接写出a、b、c的值.a=,b=,c=(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|(请写出化简过程)(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.37.阅读材料:求1+2+22+23+24+…22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得:2S﹣S=22014﹣1,即S=22014﹣1,即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值.38.计算:(1);(2)﹣24+3﹣16﹣5;(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12)(﹣47.65)×2+(﹣37.15)×(﹣2)+10.5×(﹣7).39.1+2+3+…+100=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=,其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+3×4+…n(n+1)=?观察下面三个特殊的等式1×2=(1×2×3﹣0×1×2)2×3=(2×3×4﹣1×2×3)3×4=(3×4×5﹣2×3×4)将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料,请你思考后回答:(1)直接写出下列各式的计算结果:①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…n(n+1)=(2)探究并计算:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=(3)请利用(2)的探究结果,直接写出下式的计算结果:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=.40.如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A、B是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题.(1)如果点A表示数﹣3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是;(2)如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离为;(3)如果点A表示数﹣4,将A点向右移动16个单位长度,再向左移动25个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是;(4)一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示什么数?A、B两点间的距离为多少?初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.(2016春•碑林区校级期末)1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一.则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是()A.6万纳米B.6×104纳米C.3×10﹣6米D.3×10﹣5米【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是(60 000÷2)纳米,然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径.【解答】解:头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米.故选D.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.2.(2014秋•赛罕区校级期末)足球循环赛中,红队胜黄队4:1,黄队胜蓝队2:1,蓝队胜红队1:0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是()A.红队2,黄队﹣2,蓝队0 B.红队2,黄队﹣1,蓝队1C.红队3,黄队﹣3,蓝队1 D.红队3,黄队﹣2,蓝队0【分析】每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数.依此列出算式进行计算.【解答】解:由题意知,红队共进4球,失2球,净胜球数为:4+(﹣2)=2,黄队共进3球,失5球,净胜球数为3+(﹣5)=﹣2,蓝队共进2球,失2球,净胜球数为2+(﹣2)=0.故选A.【点评】每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数.3.(2010春•佛山期末)要使为整数,a只需为()A.奇数B.偶数C.5的倍数D.个位是5的数【分析】如果为整数,则(a﹣5)2为4的倍数,可确定a的取值.【解答】解:∵为整数,∴(a﹣5)2为4的倍数,∴a﹣5是偶数,则a可取任意奇数.故选A.【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识.注意:奇数±奇数=偶数,任何一个偶数必定能够被2整除,偶数的平方能够被4整除.4.(2013秋•郑州期末)体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是()﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A.25% B.37.5% C.50% D.75%【分析】根据正数是大于标准的数,非负数是达标成绩,可得达标人数,达标人数除以总人数,可的达标率.【解答】解:﹣1<0,0=0,﹣1.2<0,﹣0.1<0,0=0,﹣0.6<0,达标人数为6人,达标率为6÷8=75%,故选:D.【点评】本题考查拉正数和负数,注意非负数是达标人数,达标人数除以总人数的达标率.5.(2014•新华区模拟)有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为()A.2 B.﹣1 C .D.2008【分析】从所给出的资料中,可得到若a1=2,a2=,a3=﹣1,a4=2…则这列数的周期为3,据此解题即可.【解答】解:根据题意可知:若a1=2,则a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣(﹣1)=2,…,这列数的周期为3,∵2008=3×669+1∴a2008=2.故选:A.【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力.解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律,并直接利用规律求出得数,代入后面的算式求解.6.(2016春•沭阳县期末)有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=()A.1 B.±1 C.﹣1 D.0【分析】根据a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论,求得代数式的可能的取值即可.【解答】解解:∵a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,∴a,b,c为两正一负或两负一正,且b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c,①当a>b>0>c时:++=++=1+1﹣1=1;②当a>0>b>c时:++=++=1﹣1﹣1=﹣1;综上,++的所有可能的值为±1.故选(B)【点评】本题主要考查了代数式求值,关键是掌握绝对值的性质等知识点,注意分情况讨论字母的符号,不要漏解.7.(2013•天桥区一模)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:16进制0123456789A B C D E F 10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=()A.16 B.1C C.1A D.22【分析】首先把A+C利用十进制表示,然后化成16进制即可.【解答】解:A+C=10+12=22=16+6,则用16进制表示是16.故选A.【点评】本题考查了有理数的运算,理解十六进制的含义是关键.8.(2012秋•祁阳县校级期中)若ab>0,且a+b<0,那么()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0【分析】两数之积大于0,说明两数同号,两数之和小于0,说明两数都是负数.【解答】解:∵ab>0,∴a,b同号;又∵a+b<0,∴a,b同为负数.故本题选C.【点评】本题考查的知识点为:两数相乘,同号得正;同号两数相加为负数,则这两个数都为负数.9.(2011秋•南海区期末)如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是()A.a1+a2+a3+a7+a8+a9=2(a4+a5+a6)B.a1+a4+a7+a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)C.a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D.(a3+a6+a9)﹣(a1+a4+a7)=(a2+a5+a8)【分析】从表格中可看出a5在中间,上下相邻的数为依次大7,左右相邻的数为依次大1,所以可得到代数式.【解答】解:A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=(a4+a5+a6)﹣21+(a4+a5+a6)+21=2(a4+a5+a6),正确,不符合题意;B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2(a2+a5+a8),正确,不符合题意;C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5,正确,不符合题意D、(a3+a6+a9)﹣(a1+a4+a7)=6,错误,符合题意.故选D.【点评】本题考查有理数的加减混合运算,关键是从表格中看出各个数与a5的关系,从而得出结果.10.(2010•广州)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文⇒密文(加密),接收方由密文⇒明文(解密),已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数(见表格),当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是()A.wkdrc B.wkhtc C.eqdjc D.eqhjc【分析】m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w;a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k;t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数仍然是3,因此对应的字母是d;…,所以本题译成密文后是wkdrc.【解答】解:m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18,它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2,所对应的密文为wkdrc.故选:A.【点评】本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度.11.(2009秋•和平区校级期中)设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是()A.y没有最小值B.只有一个x使y取最小值C.有限个x(不止一个)y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值【分析】根据非负数的性质,分别讨论x的取值范围,再判断y的最值问题.【解答】解:方法一:由题意得:当x<﹣1时,y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x;当﹣1≤x≤1时,y=﹣x+1+1+x=2;当x>1时,y=x﹣1+1+x=2x;故由上得当﹣1≤x≤1时,y有最小值为2;故选D.方法二:由题意,y表示数轴上一点x,到﹣1,1的距离和,这个距离和的最小值为2,此时x的范围为﹣1≤x≤1,故选D.【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题,注意按未知数的取值分情况讨论.12.若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=()A.C135B.C136C.C1311D.C127【分析】根据题目信息,表示出C125与C126,然后通分整理计算即可.【解答】解:根据题意,有C125=,C126=,∴C125+C126=+,=,=,=C136.故选B.【点评】本题是信息给予题,读懂题目信息是解题的关键.二.填空题(共10小题)13.(2009秋•绥中县期末)2.40万精确到百位,有效数字有3个.【分析】根据24 000确定精确度,从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止共有3个有效数字.【解答】解:2.40万=24 000,精确到百位,有效数字有3个,分别是2,4,0.【点评】从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字;注意后面的单位不算入有效数字.14.(2016秋•余杭区期末)如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是N或P(填入M、N、P、R中的一个或几个).【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3,且大于1,然后根据绝对值的性质解答即可.【解答】解:∵MN=NP=PR=1,∴|MN|=|NP|=|PR|=1,∴|MR|=3;①当原点在N或P点时,1<|a|+|b|<3,又因为|a|+|b|=2,所以原点可能在N 或P点;②当原点在M或R点时,|a|+|b|>2,所以原点不可能在M或R点;综上所述,原点应是在N或P点.故答案为:N或P.【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义.解此类题的关键是:先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简后根据整点的特点求解.15.(2015•茂名)为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算:1+5+52+53+…+52015的值是.【分析】根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解.【解答】解:设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得:4M=52016﹣1,则M=.故答案为.【点评】本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键.16.(2013•天河区一模)我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为:;按此方式,将二进制(1101)2换算成十进制数的结果是13.【分析】根据题目信息,利用有理数的乘方列式进行计算即可得解.【解答】解:(1101)2=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13.故答案为:13.【点评】本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键.17.(2012•台州)请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:1⊕2=2⊕1=3,(﹣3)⊕(﹣4)=(﹣4)⊕(﹣3)=﹣,(﹣3)⊕5=5⊕(﹣3)=﹣,…你规定的新运算a⊕b=(用a,b的一个代数式表示).【分析】由题中的新定义,将已知的等式结果变形后,总结出一般性的规律,即可用a与b表示出新运算a⊕b.【解答】解:根据题意可得:1⊕2=2⊕1=3=+,(﹣3)⊕(﹣4)=(﹣4)⊕(﹣3)=﹣=+,(﹣3)⊕5=5⊕(﹣3)=﹣=+,则a⊕b=+=.故答案为:.【点评】此题考查了有理数的混合运算,属于新定义的题型,其中弄清题意,找出一般性的规律是解本题得关键.18.(2011•越秀区校级模拟)我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2.若x、y均为整数,且满足1<<3,则x+y的值±15或±9.【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解.【解答】解:根据题意得:1<xy﹣12<3,则13<xy<15,因为x、y是整数,则x=±1时,y=±14;当x=±2时,y=±7,当x=±3时,y的值不存在;当x=±4,±5,±6,±8,±9,±10,±11,±12,±13时,y的值不存在;当x=±14时,y=±1;当x=±7时,y=±2.则x+y=1+14=15,或x+y=﹣1﹣14=﹣15,或x+y=2+7=9,或x+y=﹣2﹣7=﹣9.故x+y=±15或±9.故答案是:±15或±9.【点评】本题考查了不等式的整数解,正确确定x,y的值是关键.19.(2011春•宿迁校级期末)符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:(1)G(1)=1,G(2)=3,G(3)=5,G(4)=7,…(2)G()=2,G()=4,G()=6,G()=8,…利用以上规律计算:G(2010)﹣G()﹣2010=﹣2009.【分析】此题是一道找规律的题目,通过观察可发现(1)中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1,(2)中等号后面的数为分母减去1再乘2,计算即可.【解答】解:G(2010)﹣G()﹣2010=2010×2﹣1﹣(2010﹣1)×2﹣2010=﹣2009.【点评】找到正确的规律是解答本题的关键.20.(2006•连云港)a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子:①a﹣b<0;②a+b<0;③ab<0;④ab+a+b+1<0中一定成立的是①②④.(只填序号,答案格式如:“①②③④”).【分析】首先能够根据数轴得到a,b之间的关系的正确信息,然后结合数的运算法则进行分析.【解答】解:根据数轴得a<﹣1<b,|a|>|b|.①中,a﹣b<0,故①正确;②中,a+b<0,故②正确;③中,由于b的符号无法确定,所以ab<0不一定成立,故③错误;④中,ab+a+b+1=(b+1)(a+1)<0,故④正确.所以一定成立的有①②④.故答案为:①②④.【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容.特别注意④中,能够运用因式分解的知识分解成积的形式,再分别判断两个因式的符号.21.(2006•贺州)若|x|=2,|y|=3,且<0,则x+y=±1.【分析】根据绝对值的意义,知绝对值等于正数的数有2个,且互为相反数.根据分式值的符号判断字母符号之间的关系:同号得正,异号得负.【解答】解:∵|x|=2,|y|=3,∴x=±2,y=±3.又∵<0,∴x,y异号,故x=2,y=﹣3;或x=﹣2,y=3.∴x+y=2+(﹣3)=﹣1或﹣2+3=1.故答案为:±1.【点评】理解绝对值的意义,注意互为相反数的两个数的绝对值相同.同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系.22.(2004•乌鲁木齐)王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,….请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=1﹣.【分析】结合图形,知+=1﹣,++=1﹣,推而广之即可.【解答】解:结合图形,得+++…+=1﹣.【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析.三.解答题(共18小题)23.计算:++++…+.【分析】把++++…+变形为++++++++…++,再根据加法交换律和结合律计算即可求解.【解答】解:++++…+=++++++++…++=+(+)+(+)+(+)+…+(+)+=2×2014+=4028+=4028.【点评】此题考查了有理数的混合运算,关键是把++++…+变形为++++++++…++计算.24.(2016秋•湖北月考)请你仔细阅读下列材料:计算:(﹣)÷(﹣+﹣)解法1:按常规方法计算原式=(﹣)÷[+﹣(+)]=(﹣)÷(﹣)=(﹣)×3=﹣解法2:简便计算,先求其倒数原式的倒数为:(﹣+﹣)÷(﹣)=(﹣+﹣)×(﹣30)=﹣20+3﹣5+12=﹣10故(﹣)÷(﹣+﹣)=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算:(﹣)÷(﹣+﹣).【分析】观察解法1,用常规方法计算即可求解;观察解法2,可让除数和被除数交换位置进行计算,最后的结果取计算结果的倒数即可.【解答】解:解法1,(﹣)÷(﹣+﹣)=﹣÷[+﹣(+)]=﹣÷[﹣]=﹣÷=﹣;解法2,原式的倒数为:(﹣+﹣)÷(﹣)=(﹣+﹣)×(﹣56)=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21,故(﹣)÷(﹣+﹣)=﹣.【点评】此题考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是读懂题意,理解第二种解法的思路:两个数相除,可先求这两个数相除的倒数.25.(2016秋•东莞市期末)已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1.(1)求2※4的值;(2)求(1※4)※(﹣2)的值;(3)任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果:□※○和○※□;(4)探索a※(b+c)与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来.【分析】读懂题意,掌握规律,按规律计算每个式子.【解答】解:(1)2※4=2×4+1=9;(2)(1※4)※(﹣2)=(1×4+1)×(﹣2)+1=﹣9;(3)(﹣1)※5=﹣1×5+1=﹣4,5※(﹣1)=5×(﹣1)+1=﹣4;(4)∵a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1,a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2.∴a※(b+c)+1=a※b+a※c.【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点,找出其中的规律.26.(2014秋•朝阳区期末)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值.【分析】根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1可得a+b=0,cd=1,代入可得出答案.【解答】解:由题意得:a+b=0,cd=1,m2=4,原式=m2﹣3=4﹣3=1.【点评】本题考查了倒数和相反数的知识,难度不大,注意细心运算.27.(2016秋•东台市期中)有理数a、b、c在数轴上的位置如图:(1)判断正负,用“>”或“<”填空:b﹣c<0,a+b<0,c﹣a>0.(2)化简:|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|.【分析】(1)根据数轴判断出a、b、c的正负情况,然后分别判断即可;(2)去掉绝对值号,然后合并同类项即可.【解答】解:(1)由图可知,a<0,b>0,c>0且|b|<|a|<|c|,所以,b﹣c<0,a+b<0,c﹣a>0;故答案为:<,<,>;(2)|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=(c﹣b)+(﹣a﹣b)﹣(c﹣a)=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b.【点评】本题考查了绝对值的性质,数轴,熟记性质并准确识图观察出a、b、c 的正负情况是解题的关键.28.(2016秋•镜湖区校级期中)(1)阅读下面材料:点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|;当A,B两点都不在原点时,①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a ﹣b|;②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a ﹣b|;综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4;②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|,如果|AB|=2,那么x 为1或﹣3;③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2.④当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5.【分析】①根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可;②根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可;③|x+1|+|x﹣3|的最小值,意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小,那么x应在﹣1和3之间的线段上.④分三种情况讨论即可求得.【解答】解:①|2﹣5|=3,|﹣2﹣(﹣5)|=3,|1﹣(﹣3)|=4;②|x﹣(﹣1)|=|x+1|,如果AB=2,则x+1=±2,解得x=1或﹣3;③若|x+1|+|x﹣2|取最小值,那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上,所以﹣1≤x≤2.④若x+1>0,x﹣2>0,则(x+1)+(x﹣2)=5,解得x=3,若x+1<0,x﹣2<0,则﹣(x+1)﹣(x﹣2)=5,解得x=﹣2,若x+1和x﹣2异号,则等式不成立,所以当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5.故答案为:3,3,4;|x+1|,1或﹣3;﹣1≤x≤2;3或﹣2.【点评】本题主要考查了数轴和绝对值,掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值.29.(2016•河北)请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:(1)999×(﹣15)(2)999×118+999×(﹣)﹣999×18.【分析】(1)将式子变形为(1000﹣1)×(﹣15),再根据乘法分配律计算即可求解;(2)根据乘法分配律计算即可求解.【解答】解:(1)999×(﹣15)=(1000﹣1)×(﹣15)=1000×(﹣15)+15=﹣15000+15=﹣14985;(2)999×118+999×(﹣)﹣999×18=999×(118﹣﹣18)=999×100=99900【点评】考查了有理数的混合运算,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.(2)进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.。

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