“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】（二）点P 在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P点的位置如何确图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。
∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=k ·PB （k ≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP k=；OB第四步：在OB上取点C，使得OC OP=；OP OB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin ∠CAE ）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似即：半径的平方=原有线段 构造线段构造△OPC∽△OBP，OP 2=OB·OC1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12BM 的最小值为.分析：如何将12BM 转化为其他线段呢？即本题k 值为12即转化为30°角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12BM ，即AM+12BM 最小转化为AM+MN 最小，本题得解。
详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12=MNBM， ∴12BM=MN ，∴AM+12BM=AM+MN ，即AM+12BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+12BM 的最小值为变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？ 答案：（1）2）BD=2（AM+1/2BM)2AM+BM2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。
套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP∴2PE PC =∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在即2PC PD +的最小值为变式思考：(1)本题如要求“1PC PD 2+”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“3PC PD 2+”的最小值你会求吗？答案：（1）2）=1/2（2PC+PD)（构造子母相似三角形）【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为 秒. 2.如图，在菱形ABCD 中，AB=6，且∠ABC=150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PA+PB+PD 的最小值为 .答案：本题也可用“费马点”模型解决哦！！！（=1/3AD+CD)=PA+2PB=2(1/2PA+PB)【中考真题】(胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+21的最小值为。
=sin30PB+PD 2.（2014.成都）如图，已知抛物线2)(4)y x x=+-与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线y x=D（-5，。
设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？，(-课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。
要好好专研哦！！！(=1/2FD+AF=sin30FD+AF)(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)2（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1的最小值PM PN2为____GO构造______．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5(2题提示：构造三角形OPN相似于OQP)(3题提示：构造三角形OPC相似于OQP)【中考真题】(阿氏圆问题)（2017·甘肃兰州）如图，抛物线2y x bx c与直线AB交于4,4A，0,4B两点，直线1:62AC y x交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF x轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线2y x bx c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以,,,A E F H为顶点的四边形是矩形？求出此时点,E H 的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E⊙上一动点，求12AM CM的最小值.答案：(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②2．提示：利用距离相等0-x=x-(-4)C写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于1k 或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。