电阻的（Y形）/（Δ形）等效变换
• 有的电路中电阻与电阻之间的联接既不是 串联也不是并联，如电阻的星形（Y形）联 接和三角形（Δ形）联接，那么就不能简单 地用一个电阻来等效，那么如何处理呢？
运用KCL、KVL、欧姆定律及电路等效的概念， 对它们作彼此之间的互换，使变换后的电阻联接 方式与电路其它部分的电阻构成串联或并联，从 而使电路分析计算简化
I +
I1 I2 U R1 R2
− (a)电阻的并联
I
电流的求法
+
R U
− (b)等效电阻
I1 I2

U R1 U R2

R2 R1 R2
R1 R1 R2
I I

电阻的并联
1、各个电阻两端的电压相等
2、等效电阻R的倒数等于各个电阻的倒数之和
1 1 1 R R1 R2

Rc Ra

Δ→Y等效变换公式
Ra

Rab
Rab Rca Rbc
Rca

Rb

Rab
Rbc Rab Rbc
Rca

Rc

Rab
Rca Rbc Rbc
Rca

Y—Δ变换应满足等效条件：对应端a、b、c流 入(或流出)的电流Ia、Ib、Ic必须保持相等，对 应端之间的电压Uab、Ubc、Uca也必须保持相 等，即等效变换后电路各对应端子上的伏安 关系VAR保持不变
i
+
Au
B
-
i
+
Au
C
-
(a)
(b)
外电路
外电路
内部电路
外电路
等效变换的特点：
1、对外等效。 原因是外部端口电压电流不变，在外电路 看来，地切保持原样！
2、对内不等效。 原因是内部电路进行了变换，已经面目全非！
2.1.2 电阻的串联、并联 及其等效变换
• 一、电阻的串联（起分压作用）
I
I
电压、电流的求法
R3 i3Y +
3 —
R1 u12Y
u23Y
R2 i2Y —
2+
接: 用电压表示电流 i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
Y接: 用电流表示电压
i1Y+i2Y+i3Y = 0
电路等效变换的条件：相互等效的两换个的电两路个具电有路完内全 相电同 路的等电 效压 变、 换电 的流 意关 义系：简（化即较相复同杂的电V部等A路的电R的）电 量分压 时析、 ，计电 必算流 须
回到原电路中去
等效变换可以使我们将注意力集中于真正关心的地方
计算
等效变换： 将电路中某一部分进行变换，变换后该部分外部端口的电压电流值都保持不变 或者说外部端口的电压电流关系都保持不变。
• 2.1.1 电路等效的一般概念
+i
u
B
－
(a)
+i
u
C
－
(b)
等效电路的一般概念：若两者端口有完全相同 的VAR（即给B加电压u，产生电流i，给C加电 压u，产生的电流i与B的电流i相等），则称二 端电路B与C是互为等效的。
2.1.1 电路等效的一般概念
i
+
Au
B
-
i
+
Au
C
-
(a)
(b)
图：二端电路的等效互换 注意：求等效变
B
R1 60
R3 20
R5
20
R4 20
D
②短路线两端的点可画在同一 点上，若有多个接地点，可用
图2.1.7
短路线相连，即把短路线无穷
缩短或伸长。
电阻的混联
③
依次把电路元件画在各点之间，
A (D)
再观察元件之间的连接关系。
图2.1.7电路改画后如图2.1.8所示，
R1
由此可直观地看出RAB为
G12

G1
G1G2 G2 G3
R23

R2

R3

R2 R3 R1
或
G23

G1
G2G3 G2 G3
R31

R3

R1

R3 R1 R2
G31

G1
G3G1 G2 G3
类似可得到由接 Y接的变换结果：
G1

G12

G31

G12G31 G23
G2

G23
G12

G23G12 G31
第二章 直流电路的基本分析方法
目录
2.1 电路的等效变换 2.2支路电流法 2.3网孔电流法 2.4结点电压法 2.5叠加定理 2.6戴维宁定理
教学目标
• 理解电压源与电流源的电路模型及其 等效变换
• 掌握支路电流法、网孔电流法、和结 点电压法
• 理解运用叠加定理以及戴维宁定理
2.1 电路的等效变换
+
R1 U1
−
U
+
R2 U2 −
(a)电阻的串联
+ R
U
− (b)等效电阻
电阻串联时电流：
I U R1 R2
电阻两端的电压：
U1
U
R1 R1 R2

U2
U
R2 R1 R2

电阻的串联
1、每个串联电阻中流过同一个电流I 2、 等效电阻R等于各串联电阻之和，即
R=R1+R2 3、 等效电阻R等于各串联电阻之和，即
电阻的（Y形）/（Δ形）等效变换
40
º
R º
30 30
R = 30
试求图所示电路a、b端的等效电阻Rab。
a
c′
a
短路线压缩 a
c′ c′
串
b
并
d′
联
a
c′
b
c′
d′
b
等
效
可以算得：
Rab (2 2) / /4 3 / /5 2.5
b
电阻的混联判别方法
•观察电路的结构特点。若两电阻首尾相连就是串联， 如果首首相连就是并联。
或
R R1 R2 R1 R2
注意：这个等效电 阻一定小于并联电 阻中最小的一个
3、电路总电流I等于各个电阻上流过的电流之和
I

I1 I2

U R1

U R2
U
R1 R2 R1 R2
U R
电阻串联与并联的对应关系
电路 对应的各量
串联
i u R
分压关系
并联
u i G
分流关系
电阻的混联
•根据电压电流关系。若通过各电阻的电流为同一个 电流，可视为串联；若各电阻两端承受的是同一个 电压，可视为并联。 •对电路做变形等效。 对电路做扭动变形，对原电路进行改画，上面的支 路可以放到下面，左边的支路可以变到右边，弯曲 的支路可以拉直，对电路中的短路线可以任意伸缩， 对多点接地点可以用短路线相连。
B
R2
C
R4 R5
R3
RAB R2 // R4 R3 // R1 // R5
而

R2
//
R4


R3


20 20
20 20

20

30
图2.1.8
故
30 60 RAB 30 // R1 // R5 30 60 // 20 10
电阻的混联
(1)
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
(2)
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
由式(2)解得：
i1Y

u12Y R3 u31Y R2 R1R2 R2 R3 R3R1
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
i2Y

u23Y R1u12Y R3 R1R2 R2 R3 R3R1
R31 R1
R12
连 接
R2 R3
关 系
R23 注意： (1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
Y→Δ等效变换公式
Rab

Ra Rb

Rb Rc Rc

Rc Ra

Rbc

Ra Rb

Rb Rc Ra

Rc Ra

Rca

Ra Rb

Rb Rc Rb
(3)
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)
i3Y

u31Y R2 u23Y R1 R1R2 R2 R3 R3R1
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果：
R12

R1

R2

R1 R2 R3
电阻的Y形连接和形连接的等效变换
三端无源网络:引出三个端钮的网络，并且内部没
°
有独立源。
°
无 源
°
三端电阻无源网络的两个例子： ，Y网络：
– i1
u31 R31
+ 1
u12 R12
+ i3 –3
R23 u23
型网络
i2 _ +2
－i1Y
1+
u31Y