权的计算
将各组的权予以约简，用简单的数值来
表示各组的权，如设 x
1
0.05, x2 0.2, x3 0.1，
则 p1 : p2 : p3 16 : 1 : 4 ，则
p1 16, p2 1, p3 4
（3）加权算术平均值
x1
l
i 1
n1
1i
n1
n1
, x2
ˆ dn
极差法可迅速算出标准差，并且有一定 精度，一般在n<10均可采用，不象Bessel或 Peters法那样求算术平均值，残余误差那么麻 烦。
（4）最大误差法
当多个独立测量值服从正态分布时，可用 下式求得的标准差的无偏估计：
ˆ vi
max ' n
k
最大误差法简单、迅速、方便，且n<10时， 该法具有一定精度。在代价较高的破坏性实验 中一般只容许进行一次实验，且需估计精度情 形下，则该法则特别有用。
分布。
高斯公布的四个特点
对称性：正误差与负误差出现的次数在绝对值相
等时一样。
单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大
的误差出现的次数多。
有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值
不会超过一定界限。
抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
i li x x l0 vi x vi li x
依据算术平均值的定义计算算术平均值既 烦琐又易产生错误，可用下列简便方法计算：
任选一个 接近所有测量值的数 (称为中数) 作为参考值，计算每个测得值 li 与中数 l0 的差 值 li li l0 i 1, 2,, n 因
x
l
i 1
n
i
n
x0
l
i 1
n
i
n
则 x l0 x0 x0 当 l0 取值合适时因前后相减而变得好计算。
x xi x
i
单位权化可得：
pi vxi pi xi pi x
已成为等精度测量列， pi vx 也成为等精度测量 列，将 pi vx 代入等精度测量列求标准查的公式中，就 有
pi xi
i
i

pv
i 1 i
m
2 xi
m 1
x

i 1
m
2 pi vx i m
( m 1 ) pi
但是由于存在有效数字舍入的情况，实际 得到的可能是经过凑整的非准确数，存在舍入 误差 即 舍前值
x
n
l
i 1
i
n

v
i 1
n
i
n
舍后值
规则一
当n为偶数时：
n vi A 2 i 1
n
当n为奇数时：
n vi ( 0.5) A 2 i 1
n
式中的A为实际求得的算术平均值末位数 的一个单位。
（2）计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确， 可用残余误差代数和性质进行校核。 n 因 li
x
i 1
于是
n
n
vi li x ,
i 1, 2,......n
v l x nx nx 0
i 1 i i 1 i i 1
n
n
残余误差代数和为零的性质可作为校核算术 平均值及其残余误差计算是否正确的依据。
i
x

n
x x
ni
i
i
n
i 1
m
i
为什么要权单位化？
当 不可知时，各组测量结果 的残余误差为 x xi x 。 因该残余误差是不等精度的测 量列，其权不一致，为此需使得其 权位单位化。
i
单位权化的定义 单位权化的实质就是使任何
一个量值乘以自身权数的平方根， 得到新的量值权数为1。
（二）随机误差一次方与二次方的和式公式：
v n
i i
x
n x
2 2 2 2 2 v n 2 v v n i i i x x i x
（三）求平均值误差平方和的公式：
n 2 x 2 ( i )2 i 2 2 i j i 2
比较常见的。 定义：即在相同的测量条件，同一个测量者
使用相同的测量仪器和测量方法对同一测量 量进行了多组的测量。
如何求得最后的测量结果及精度？
（1）权的概念
在等精度测量中，各个测得值认为同样可 靠，既具有相同的权。在不等精度测量中，如 不同的测量次数，各组的平均值的可靠精度不 一样，最终的结果不能简单地表示为算术平均 值的形式： x
Байду номын сангаас
1 D( x ) 2 D( l1 ) D( l2 ) ...... D( ln ) n
D( l1 ) 2 1 D( x ) 2 nD( l1 ) n n n
D(l1 ) D(l2 ) ...... D(ln )
x

n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n ， x 。但 的标准差是单次测量标准差 n ， 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
vx1 x1 x 0.5mm,vx2 0.4mm,vx3 0.1mm m 3, p1 3, p2 2, p3 5 3 ( 0.5 )2 2 ( 0.4 )2 5 ( 0.1 )2 x 0.0002mm ( 3 1 )( 3 2 5 )
测量结果为：
x 999.9420 0.0002( mm )
三、随机误差的几种分布
随机误差的分布中，最常见的是正态分布，还
有均匀分布、三角形分布、x 2 分布、 t 分布、F 分布 等。
1、正态分布
测量列的随机误差 i li L0 满足下列四个条
件的概率分布，称之为正态分布，也称高斯（Gauss）
i 1 1i j n n
i j 0
1i j
n
（四）展开随机误差平方和公式：
2 2 2 2 v n v i i i x 2 i
n 1 i 2 n vi 2
2 v i
n

n 1

2 i
n

精度低的，权低。
★不同的测量方法：测量方法完善的，权高；
测量方法低劣的，权低。 手，权低。
★不同的测量人员：经验丰富的，权高；新
这些权的确定，都基于权代表的数 值的可靠程度这一原则。
不同测量次数的不等精度测量是我
们的研究重点。因单次测量精度皆相同， 其标准差均为 表示
P i ni
i组的权用 ，第
px
i 1 m
m
i i
p
i 1
i
等精度测量是不等精度测量的特例
p1 p2 pm 1 各组的权相等时，
，可见不等精度测量是等精度测量 的特例。
x xi / m
i 1 m
（4）加权算术平均值的标准差
当单次测量的标准差 可知时 ：
x
i

ni
全部 为：
n 测得值的算术平均值 x 的标准差
§2.1 随机误差
定义： 在同一测量条件下，多次测量同一量值时，
绝对值和符号的 不可预定方式变化的误差，该
数的出现没有确定的规律，但具有统计规律性。
其产生的原因不外乎有测量装置、环境方面、
人员方面等因素所造成。
二、随机误差的几个统计量
随机误差常见的几个统计量有均值、均方 值、方差等。 1、均值 均值即算术平均值。 （1）算术平均值的意义 在测量中，被测量的N 个测得值的代数和 除以N 得到的值称之为算术平均值。 设n次测得值为则算术平均值为：
3．不等精度测量
上述都是等精度测量问题，一般测量实 践中基本都属于这种类型。为了得到更为精 确的测量结果，我们便会遇到不等精度测量 问题： （一）不同的测量条件； （二）不同的测量仪器； （三）不同的测量方法； （四）不同的测量人员 （五）不同的测量次数。
测量次数的不等精度测量问题
不同的测量次数的不等精度测量问题是
pi xi
pz 1
证明：
D( Z ) PD( xi ) i
P i
2 z
2 xi
1 1 1 1 1 pz : pi 2 : 2 : z xi pi x2 x 2 pi i i 1 pz pi 1 pi
已知各组测量结果的残余误差为：
（2）测量列算术平均值的标准差
算术平均值的标准差是算术平均值作为 测量结果后其不可靠性的评定标准。 也可用于表示同一被测量的多个独立测 量列算术平均值的分散性的参数。因为各个 独立测量列的算术平均值由于随机误差的存 在也不可能相等，必在真值的上下有一定的 分散。
算术平均数值标准差公式推导
l1 l2 ...... ln x n
数时， v 为负，其大小为求 x 时的亏数；
2、方差
（1）定义：方差一般也称之为标准差，这里计 算单次测量的标准差。 在等精度测量中，单次测量的标准差按下 列公式计算： i li L0
2 2 12 2 ...... n 2 i i 1 n