dQ dA
D=
Q 2 Bi f
B 水面宽，i f
摩阻比降
消去Q,得：
∂H ∂H ∂2 H +C =D 2 ∂t ∂x ∂x
上面的C、D同上面的说明 . C>0 , 说明扩散波总是从上游向下游传播。 利用偏微分方程理论得：
⎧ dx ⎪ dt = C ⎪ ⎨ 2 2 ⎪ dQ = D ∂ Q ⎪ dt ∂x 2 ⎩
6
1-2 Flood wave characteristics
2) 附加比降(Additional slope)
tan β = iΔ
tan α :
轮廓线相对于稳定流水面的比降 稳定流水面比降为 洪水波水面比降为
Hale Waihona Puke tan γ :i0
i
γ
β
α
γ =α +β
tan γ = tan α + β）= （ ∴ i = i0 + iΔ i +i tan α + tan β = 0 Δ ≈ i0 + iΔ 1 − tan α ⋅ tan β 1 − i0 ⋅ iΔ
∂Q ∂A + =0 ∂x ∂t ∂y = i0 − i f ∂x
消去H得：
f ( H ,Q) f ( H ,Q)
∂Q ∂Q ∂ 2Q +C =D ∂t ∂x ∂x 2 C D
24
对流扩散方程
扩散波波速 扩散系数
2-4 Diffusion wave
扩散波波速 C ≈ 运 动 波 波 速 ， 即 C =
D 扩散波及其特征 (Diffusion wave)
13
2-1 Hydraulic description of flood wave
movement
Saint-Venant Equations 连续方程(Continuity equation or mass conservation equation)
水文学原理教学课件
第九章 地表水流 Surface Flow
Contents
洪水波的形成及传播 1 洪水波的形成及传播 1 (Formation and propagation of flood wave) (Formation and propagation of flood wave) 运动波和扩散波 2 运动波和扩散波 2 (Kinematic wave and Diffusion wave) (Kinematic wave and Diffusion wave) 槽蓄理论和槽蓄方程 3 槽蓄理论和槽蓄方程 3 (Storage theory & Storage equation) (Storage theory & Storage equation)
( C − 谢才系数，R − 水力半径 ) ( K − 流量模数 )
H
A = f ( H )⎫ ⎪ C = f ( H )⎬ ⇒ K = f ( H ) , Q = f ( H ) , Q = Q ( A) R = f ( H )⎪ ⎭
图：运动波的H～Q关系为单值关系
Q
18
2-3 Kinematic wave
√ √ × √
√ √ × √
16
2-2 Classification of flood wave
洪水波类型 运动波 扩散波 惯性波 动力波
17
适用范围 山区性河流、坡面流 河流中下游，尤其中游 湖泊性水库 平原水网区、感潮河段区
2-3 Kinematic wave
⎧ ∂Q ∂A + =0 ⎪ ⎨ ∂x ∂t ⎪ i0 = i f ⎩ v = C Ri f uuuuuuuuu v = C Ri0 运动波 r Q = AC Ri f = AC Ri0 = K i0
23
H
Q
1 ∂y Q0 − 稳定流流量 i0 ∂x
∂y <0 ∂x ∂y >0 落洪： iΔ 为负，但 ∂x
涨洪： iΔ为正，但
Q 对于同一水位， 涨 > Q0 , Q落 < Q0
2-4 Diffusion wave
如何判断河道内发生了运动波或扩散波，应点绘水位-流量关系。 若H~Q为逆时针绳套关系，则为扩散波。
dQ ∂Q ∂Q dx + = dt ∂t ∂x dt
利用偏微分方程特征理论，可求得上式的等价方程为：
(3)
⎧ dx ⎪ dt = C ⎨ dQ ⎪ =0 ⎩ dt
21
说明波流量不随时间变化
2-3 Kinematic wave
Δx C= t1 − t0
若每个波流量的速度一样，这一现象称为推移作用. 若C随Q变化
10
Q
I(t) O(t)
t
1-3 Movement of flood wave
坦化(attenuation)和扭曲(distortion)
11
1-4 Occurrence time of extreme values of hydraulic elements
比降、流速、流量、水位 最大比降出现之后出现最大流速、最大流 量、最高水位（see P172-173)
1976年，英国人Ponce对洪水波进行了分类 (classification of flood wave)
惯性项 洪水波 局地惯性项
1 ∂v g ∂t
迁移惯性项
v ∂v g ∂x
附加比降项
∂y ∂x
阻力项
v2 C2R
河底比降项
i0
运动波 扩散波 惯性波 动力波
× × √ √
× × √ √
× √ √ √
证明方法一：
Q v= A dQ C= dA α > β (Q α = β + γ ) tgα > tgβ ⇒ C > v ifQ ~ A为直线 thenα = β ⇒ C = v
20
∴ 一般来说η ≥ 1， C ≥ v
2-3 Kinematic wave
∂Q ∂Q +C = 0 ( 双曲线型 ) ∂t ∂x
PRECIPITATION
4
1-2 Flood wave characteristics
1) 几何特征(Geometric characteristics)
5
1-2 Flood wave characteristics
1) 几何特征(Geometric characteristics)
波体(main body of flood wave)，即洪水波本身，初始稳定 流水面上的附加部分水体. 波高(wave height)，波体轮廓线上任一点相对于稳定流水面 的高度。最大波高称为波峰(wave ridge, crest, top, summit peak). 波长(wave length)，波体与稳定流水面交界面的长度。
12
Part 2 Kinematic wave and Diffusion wave
A 洪水运动的水力学描述 (Hydraulic description of flood wave movement) C 运动波及其特征 (Kinematic wave)
B 洪水波的分类 (Classification of flood wave)
⇒ 波的破碎
Q
运动波在传播过程中相应流量不发生变 化（推移），但若C随Q变化，则洪水 波会扭曲现象 （Distortion）,导致洪水 波破碎。
A
D
•
D'
D
A
•
D'
x
（Q ↑, C ↑, Q峰的波速最大，波前变陡，波后变缓）
22
2-4 Diffusion wave
⎛ ∂y ⎞ 注意:⎜ − = iΔ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ∂y = i0 − i f ∂x ∂y i f = i0 − ∂x Q2 谢才公式：Q=K i f ⇒ i f = 2 K Q2 ∂y = i0 − K2 ∂x ∂y 1 ∂y Q = K i0 − = K i0 1 − ∂x i0 ∂x = Q0 1 −
19
运动波波速
解此方程称为流量演算
解此方程称为水位演算
2-3 Kinematic wave
特点：
dQ (1) C = dA
(2) C总是为正的，从上游向下游传播
C≥v
证明方法二：
Q = Av C= dQ d = ( Av) dA dA dv =v+ A dA A dv = v(1 + ) v dA = ηv
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dQ
Part 3 Storage theory & storage equation
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
27
河槽调节作用和河段水量平衡方程 河槽调节作用和河段水量平衡方程
(Storage effects of a river channel and water balance equation for a reach) (Storage effects of a river channel and water balance equation for a reach)
重力(Gravity)
1 ∂v v ∂v ∂y + + = i0 − i f g ∂t g ∂x ∂x
时间惯性力 (局地惯性项) Local inertia term 压力 (Pressure) 阻力 (Friction)
Inertia force
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2-2 Classification of flood wave
8
1-2 Flood wave characteristics
4) 波速(Wave velocity)
洪水波的运动速度。 相应流量或相应水位的传播速度。