2007年高考“立体几何”题1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .45解:如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD所成的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=5a , A 1C 1=2a ,∠A 1BC 1的余弦值为45,选D 。
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知 正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 解:一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知 正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。
四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥,1A AB1B1A1D1C CDC 1A CFAD BCA S故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =得1SO =,SD =.SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=, 得121133h S SO S =,解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin 11h SD α===. 所以,直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥. 如图,以O 为坐标原点,OA 为x 0)A ,,(0B ,(0C -,,(001)S ,,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,12G ⎫⎪⎪⎝⎭,. 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭,,1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,ODBCAS则α与β互余.D,(DS =.22cos 11OG DS OGDSα==,sin 11β=,所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin .2.(全国II) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于( )A.4B.4C.2D .2解:已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,取A 1C 1的中点D 1,连接BD 1,AD 1,∠B 1AD 1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角,11sin 4B AD ∠==,选A 。
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱 的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2.解:一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。
正四棱柱的对角线的长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm ,设正四棱柱的高为h ,∴ h=2,那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为正方形, 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ,,分别为AB SC ,的中点. (1)证明EF ∥平面SAD ;(2)设2SD DC =,求二面角A EF D --的大小. 解法一:(1)作FG DC ∥交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结12AG FG CD∥,,又CD AB ∥, 故FG AE AEFG∥,为平行四边形. AEBCFSDEF AG ∥,又AG ⊂平面SAD EF ⊄,平面SAD . 所以EF ∥平面SAD .(2)不妨设2DC =,则42SD DG ADG ==,,△为等腰直角三角形.取AG 中点H ,连结DH ,则DH AG ⊥.又AB ⊥平面SAD ,所以AB DH ⊥,而AB AG A =, 所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ,连结MH ,则HM EF ⊥.连结DM ,则DM EF ⊥. 故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠===所以二面角A EF D --的大小为. 解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系D xyz -.设(00)(00)A a S b ,,,,,,则(0)(0B a a C ,,,,00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,, 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,.取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,. EF AG EF AG AG =⊂,∥,平面SAD EF ⊄,平面SAD ,所以EF ∥平面SAD .(2)不妨设(100)A ,,,则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,,,,,,,,,,. EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,,,,,,⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,0EA EF EA EF =,⊥, 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角.3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==,. AEBCFSD HG M所以二面角A EF D --的大小为arccos3. 3.(北京卷)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线a a ααβ,∥,∥B.存在一条直线a a a αβ⊂,,∥C.存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂,,,,∥,∥ D.存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂,,,,∥,∥ 解:平面α∥平面β的一个充分条件是“存在两条异面直线a b a a b αβα⊂,,,∥,∥”,选D 。
如图,在Rt AOB △中,π6OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角 B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ;(II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (III )求CD 与平面AOB 所成角的最大值. 解:(I )由题意,CO AO ⊥,BO AO ⊥,BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角,又二面角B AO C --是直二面角, CO BO ∴⊥,又AO BO O =,CO ∴⊥平面AOB , 又CO ⊂平面COD . ∴平面COD ⊥平面AOB .(II )作DE OB ⊥,垂足为E ,连结CE (如图),则DE AO ∥,CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角.在Rt COE △中,2CO BO ==,112OE BO ==,CE ∴==又12DE AO == ∴在Rt CDE △中,tan CE CDE DE ===OCADBAD∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3. (III )由(I )知,CO ⊥平面AOB ,CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角,且2tan OC CDO OD OD==. 当OD 最小时,CDO ∠最大, 这时,OD AB ⊥,垂足为D ,3OA OBOD AB==,tan CDO =, CD∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan3.4.(天津卷)设,a b 为两条直线,,αβ为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是 ( ) A.若,a b 与α所成的角相等,则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β,则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥解:对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定;对于B 只需找个γαβ∥∥,且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行;对于C 可参考直三棱柱模型排除,故选D.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为__________.解:长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即2R ==故2414S R ππ==.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥ 底面,ABCD,,60,AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.(I)证明CD AE ⊥; (II)证明PD ⊥平面ABE ;(III)求二面角A PD C --的大小.【分析】(I)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥.APEBCD,,AC CD PAAC A CD ⊥=∴⊥平面PAC .而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.(II)证明:由,60,PA AB BC ABC ==∠=︒可得AC PA =.E 是PC 的中点,AE PC ∴⊥.由(I)知,,AE CD ⊥且,PCCD C =所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面,PCD AE PD ∴⊥. PA ⊥底面,ABCD PD 在底面ABCD 内射影是,,AD AB AD AB PD ⊥∴⊥.又,ABAE A =综上得PD ⊥平面ABE .(III)解法一:过点A 作,AM PD ⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知,AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.因此AM E ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得,,,.32PA a AD PD AE ====在Rt ADP ∆中,,..AM PD AM PD PA AD ⊥∴=.则..7a PA AD AM a PD === 在Rt AEM ∆中,sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --的大小是sinacr 解法二:由题设PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面,PAD 则平面PAD ⊥平面,ACD 交线为.AD过点C 作,CF AD ⊥垂足为,F 故CF ⊥平面.PAD 过点F 作,FM PD ⊥垂足为,M 连结,CM 故.CM PD ⊥因此CMF ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,可得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得1,,,,.2PA a AD PD CF a FD ====FM D ∆∽,.FMFD PAD PA PD∆∴=于是,...a aFD PA FM PD === APEBCD M FM APEBCD在Rt CMF∆中,1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是arctan5.(上海卷) 在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知αβ,是两个相交平面,空间两条直线12l l ,在α上的射影是直线12s s ,,12l l ,在β上的射影是直线12t t ,.用1s 与2s ,1t 与2t 的位置关系,写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件: . 解: 作图易得“能成为12,l l 是异面直线的充分条件”的是“21//s s ,并且1t 与2t 相交”或“//1t 2t ,并且1s 与2s 相交”。