第三节 光路计算与近轴光学系统
一、基本概念与符号法则 二、实际光线的光路计算 三、近轴光线的光路计算
一、基本概念与符号法则
n I E
n’
C L’ U’ A’
-U A -L
h φ I’
O r
※ O：顶点。 ※ C：球面曲率中心。 ※ OC：球面曲率半径，r。 ※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。 ※ h：光线投射高度。 ※ 物方截距：顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示。 ※ 物方倾斜角：入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示。 ※ 像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。 ※ 像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示。 ※ 入射角I ※ 折射角I’ ※ 法线与光轴的夹角φ ※ 子午平面：通过物点和光轴的截面
1 1 1 1 n( ) n'( ) Q r l r l' n' n n' n l' l r
由近轴细光束成的完善像称为高斯像 光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
第四节 球面光学成像系统
一、单个折射面成像 二、球面反射镜成像 三、共轴球面系统
一、单个折射面成像
同时 L，L’ 也用小写表示。
则实际光路公式可写成：
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n' U' U I I' sin I ' L' r( 1 ) sinU '
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' r( 1 ) u'
整理后
dl' nl' 2 dl n' l 2
nl' n' l
所以
由于

n' 2 n
讨论：
由

n' 2 得到以下结论： n
（1）折射球面的轴向放大率恒为正， 说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴 同方向移动。 （2）轴向与垂直放大率不等，空间物 体成像时要变形，立方体放大后不再 是立方体。折射球面不可能获得与物 体相似的立体像。 （3）公式应用条件：dl 很小。
B E h O -L r L’ U’ C
y
A
-U
A’
-y’ B’
（2）光线与法线的夹角，如I、I’，以光线为起始边。
I -I” -I”
B
I’
-U
I h O
E I’ C r L’
-I’
U’
y
A
A’
-y’ B’
-L
（3）入射点法线与光轴的夹角φ
（球心角），以光轴为起始边。
B y A -L -U
I h O
只知道无符号的参数，光线可能有四种 情况。要确定光线的位置，仅有参量是 不够的，还必须对符号作出规定。
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。 正向光路
反向光路
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到 终点的方向与光线传播方向相 同，为正；反之为负。
即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。 原点 － + 原点
（1）曲率半径 r，以球面顶点 O 为原点， 球心 C 在右为正，在左为负。 E
A
O +r A
C
E C
-r
O
（2）物方截距 L 和像方截距 L’ 也以顶点 O 为原 点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。 E
A
O -L A C +L’
A’ E A’ C -L O
-L’
（3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为 原点，向右为正，向左为负。
（三）角放大率
B y -u A -l n h C E
n’
u’ l’
A’ -y’
B’
O
r
在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线 与光轴夹角 u’ 与 u 的比值，用γ表示
u' u
将式
l u = l’ u’ = h
代入上式
可得

u' l u l'
上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得
-U A -L △AEC中，－L＋r = AC， 并由正弦定理可得：
U’
A’
在△EA’C中，CA’ = L’-r， 由正弦定理，可得
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n' U I U ' I '
U' U I I'
L' r r sin I ' sinU '
y n u y' n' u' J
B
y -u C O
n
E
n’ u’ A’ -y’ B’
A
上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成 像时，在一对共轭面内，其 n，u，y 或 n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。 J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质， 在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，也 就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。
n' u' nu n(
h( n' n ) r
1 1 1 1 ) n'( ) Q r l r l'
n' n n' n l' l r
h( n' n ) n' u' nu r
给出了 u 和 u’ 的关系
“阿贝不变量”。 当物点位置一定时， 物空间和像空间的 Q 值相等。
n 1 n'
上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。 角放大率表明了折射球面将光束变宽或变 细的能力，只与共轭点的位置有关，与光 线的孔径角无关
将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：

上式为三种放大率的关系。
y' n u y n' u'
即：
y n u y' n' u' J
n 1 i' i 0.1288 0.085 n' 1.5163
u' u i i' 0.017 0.12886 0.085 0.02686
i' 0.085 l' r( 1 ) 36.48 ( 1 ) 151.923mm u' 0.02686
（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）
O1
O2 +d O2 O1
O1
O2
2. 垂轴线段：以光轴为界， 上方为正，下方为负。 B E
+y
A
+h O C
A’ -y’ B’
（三）角度
角度的度量一律以锐角来度量，由起始边 顺时针转到终止边为正，逆时针为负。
起始边规定如下：
（1）光线与光轴的夹角，如 U、U’，以光轴为起始边。
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
n
i
h
E
i’ φ r
n’ C l’ u’
有：lu = l’u’ = h
A’
-u
A -l
O
i' lr 如将 i u 和 l' r( 1 ) r u' n i' i 中的 i, i’ 代入 n'
将物方倾斜角 U 限制在一个很 小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这 是可以认为可以成完善像
三、近轴光线的光路计算
U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧 度值来代替它的正弦值，并用 小写字母表示。
sin I i sin I' i' sin U u sin U ' u'
n E n’
sin I Lr sin U r n sin I ' sin I n' U' U I I'
A
O -240mm
C
L' r( 1
sin I ' ) sinU '
U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm U= -2°: U’= 3.291334° L’=147.3711mm U= -3°: U’= 5.204484° L’=141.6813mm
E
I’ φ r
C
U’
A’ -y’ B’
L’
练习：试用符号规则标出下列 光组及光线的位置
（1）r = -30mm、L = -100mm、U = -10° （2）r = 30mm、L = -100mm、U = -10° （3）r1 = 100mm、r2 = -200mm、d = 5mm、L = -200mm、U = -10° （4）r = -40mm、L’ = 200mm、U’ = -10° （5）r = -40mm、L = -100mm、U = -10°、L’= -200mm
B n E n’ C O -l r l’ u’ A’ -y’ B’
y
-u A
h
（一）垂轴放大率
垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’，则
y' y
β 称为垂轴放大率或横向放大率
B y