命题2设R是整环，则
（1）a是单位 （a）=R
（2）
（3）a与b相伴 （a）=（b）
（4）b是a的真因子
（5）a是既约元 （a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使
命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。
证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。
定义3设R是整环， 且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由 必有 或者 ，则称p是素元。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第30次课
授课章节
2.6整环的因子分解
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
6
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环
例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。
命题4设R是整环， 且p不是单位，则p是素元 （p）是素理想
定义3设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。
命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则I是素理想 I是极大理想
命题6设R是主理想整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定义4设R是整环，假设从R的非零元的集合 到非负整数集合有一个映射 使得对 ， 都存在 使 ，其中 或 ，（*）则称 是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。
定理1欧式环一定是主理想整环
证明：设 是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设 ，则集合 非空，且存在最小数，设 使得 是这个集合中的最小数，则对 都有 ，下证I=（a）。
若 ，则由a=acd消去a得cd=1，所以c，d为R的单位，因而总存在单位 使 。
若有单位 使 ，则 ，所以 ，即a与b相伴。
定义2设R是一个整环，
（1）设 且 ，则R中的单位及a的相伴元都是a的因子，称为是a的平凡因子，a的非平凡因子称为a的真因子。
（2）设 且 ，若a不是单位且没有非平凡的因子，即a的因子只有单位和a的相伴元，则称a是既约元。
教学重点，难点：
主理想整环、唯一分解整环、欧式环之间的关系
教学内容：
2.6整环的因子分解
定义1设R是一个整环
（1）R中的（乘法）可逆元称为是R的单位
（2）设 ，若存在 使a=bc，则称b整除a，记为 。
（3）设 ，若 ，则称a与b相伴。
命题1 a与b相伴 存在单位 使
证明： 由 知存在 使b=ac，a=bd，于是a=acd，若a=0，则b=ac=0，故a=b；
假设 ，则由 ， 得 且 。又若 且 ，则 ， ，于是 ，故 ，则 ，所以d是a，b的一个最大公因子。由于 ，所以存在 使 ：
P57 1、3、5、7、9、13
下次课预习要点
唯一分解整环上的多项式环
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
证明： 已证， 假设p是既约元，我们来证明（p）是极大理想。设I是R的一个理想使 ，
教学内容：
由于R是主理想整环，所以存在 使得I=（a），因而存在 使p=ab，而p是既约元，所以a为单位或者b为单位，若b为单位则（p）=（a），矛盾，所以a必为单位，从而I=（a）=R，所以（p）是R的极大理想，从而也是素理想，从而p是R的素元。
（2）如果d是 的公因子而且若 也是 的一个公因子则必有 ，则称d是 的一个最大公因子。
教学内容：
定理3唯一分解整环中的任意两个元素都有最大公因子
命题8设R是一个主理想整环，则d是a，b的最大公因子 （a）+（b）=（d），而且对a，b的任意最大公因子（a，b），存在 使（a，b）=sa+tb
证明： 若d是a，b的最大公因子，则 且 ，于是 且 ，从而 。由于R是主理想整环，所以存在 使 ，则 ，即 ，而d是a，b的最大公因子，所以 ，于是 ，即 ，所以
对 ，由于R是欧式环，所以存在 使b=qa+r，其中r=0或者 ，易证r=0，从而 ，因而I=（a）。所以R是一个主理想整环。
定义5设R是一个整环，如果R满足下列条件
（1）（存在性）R中的每个非零非单位的元素都可以表示成一些既约元的乘积的形式： 其中 都是既约元
（2）（唯一性）若 ，其中 都是既约元，
则必有m=n且适当调整顺序后有 与 相伴，则称R是一个唯一分解整环。
命题7 R是一个唯一分解整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定理2主理想整环是唯一分解整环
于是，欧式环，主理想整环和唯一分解整环之间的关系是：
{欧式环} {主理想整环} {唯一分解整环}
定义6设R是一个整环，
（1）如果 ，则称d是 的一个公因子