培优: 一次函数图像及性质
【基础知识概述】
一、函数的图象: 把—个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
二、正比例函数的图象及性质:
1.正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是过(0,0),(1,k)两点的一条直线. 2.当k ﹥0时,y 值随x 的值的增大而增大;(图象经过一、三象限)
当k ﹤0时,y 值随x 的值的增大而减小。
(图象经过二、四象限) 3.|k|越大直线越靠近y 轴,|k|越小直线越靠近x 轴。
三、一次函数的图象及性质:
1.一次函数y=kx+b(k ,b 为常数,k ≠0)的图象是过(0,b),(k
b
-
,0)两点的一条直线. 2.当k >0时,y 随x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升。
① 当k>0,b>0时,一次函数图象过一、二、三象限, ② 当k>0,b <0时,一次函数图象过一、三、四象限,
3.当k<0时,y 随x 的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降。
① 当k<0,b>0时,一次函数图象过一、二、四象限, ② 当k<0,b<0时,一次函数图象过二、三、四象限,
【例题巧解点拨】
例1、① 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ,与y 轴的交点是 ;
② 已知一次函数y= ax+4与y = bx-2的图象在x 轴上相交于同一点,
则b
a 的值是__________. 变式训练:1.已知函数y= -x+m 与y= mx-4的图象的交点在x 轴的负半轴上,那么m 的值___. 2.若函数y=-x-4与x 轴交于点A ,直线上有一点M ,若△AOM 的面积为8,则点M 的坐标 . 3.(2011衡阳)如图,一次函数y=kx+
b 的图象与x 轴的交点坐标为(2,0),
则下列说法:①y 随x 的增大而减小; ②b>0;
③关于x 的方程kx+b=0的解为x=2.
其中说法正确的有 .
例2、已知函数y= -2x-6。
① 求当x= -4时,y 的值,当y= -2时,x 的值。
② 画出函数图象;
③ 求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离; ④ 如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值
例3、①下列函数中,y随
x
的增大而减小的有(
)
① y=-2x+1 ②y=6-x ③
3
1x
y+
-
=④x
y)
2
1(-
=
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
②已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( )
A. k>0,b>0
B. k>0,b<0
C. k<0,b>0
D. k<0,b<0
③函数(2)4
y m x m
=+++中,y随x的增大而减小,
且图象交y轴于正半轴,则m的取值范围是。
④已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内
它的大致图象是 ( )
A. B. C. D.
⑤若m是整数,且一次函数2
)4
(+
+
+
=m
x
m
y的图象不过第二象限,则m= __.
⑥老师给出一个函数,甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第一象限;
乙:函数的图象经过第二象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而减小.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .
变式训练:1. 已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-
1
2
x+2上,则y1y2大小关系是_______.
2. 已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是___________.
例4、①如图,直线y1=kx+b经过点(12)
A--
,和点(20)
B-,,
直线y2=2x过点A,当y2< y1<0时,x的取值范围为()
A.2
x<- B.21
x
-<<-
C.20
x
-<< D.10
x
-<<
② (2008枣庄) 如图,点A的坐标为(1,0),点B在直线y=-x
上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为()
A、(0,0)
B、(
2
1
,
2
1) C、(
2
2
,
2
2
-) D、(
2
1
,
2
1
-)
O
A
B x
y
O
B
A
x
y
例5(2009 荆门)一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交A(2,0),B (0,4)。
① 求该函数的解析式;
② 设OA 、AB 的中点分别为C ,D. P 为OB 上一动点,
求PC+PD 的最小值,并求最小值时,P 的坐标。
例6、(2010 北京)如图,直线32+=x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点① 求A 、B 两点的坐标;
② 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P,且使OP=2OA ,求△ABP 的面积。
例7、如图,已知直线y=-x+2与x 轴,y 轴分别交于点A 和点B ,另一直线
y=kx+b(k ≠0)经过点C (1,0),且把△AOB 分成两部分。
① 若△AOB 被分成两部分的面积相等, 求k 和b 的值;
② 若△AOB 被分成两部分的面积比为1:5, 求k 和b 的值。
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一、填空题
1、已知y+3与x成正比例,且当x=2时,y=7,则y与x的函数关系式为_________________;
2、直线y=kx+b与y=2x-3相交于y轴,且平行于直线y=-4x,那么直线y=kx+b的表达式
为___________ _。
3、直线y=2x-1的图象沿x轴向_________平移_________个单位,图象恰好通过点(1,3)。
4、已知一次函数y=3
2
x+m,和y=-
1
2
x+n的图象都经过点A(-2,0),
且与y轴分别交于B、C两点,则△ABC的面积是______________。
5. 已知点M(-2,2)和N(6,4),点P在x轴上,当 P点坐标为 _________ 时,PM+PN最短.
二、解答题
1.已知正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b的图象都经过点M(3, 4),且它们的图象与y 轴围成的三角形面积为15
2
,求此正比例函数和一次函数的解析式。
2.(07西宁)一报刊销售亭从报社订购某种晚报的价格是每份0.7元,销售价格是每份1
元,卖不掉的报纸还可以0.2元的价格退回报社。
在一个月内(按30天计算),有20天每天可卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,若以报亭每天从报社订购的份数为x(份),每月所获的利润为y(元)。
①写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?
最大利润是多少?
课后练习
一、填空题
1.直线y=-x+2与y=x+3的交点在第_________象限.
2.一次函数y=-kx-k (k<0)的图象大致是________.
3.若点A (2,-3),B (4,3),C (5,a )在同一直线上,则a 的值是_________.
4.(2010孝感)一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变,轮 船先从甲地顺水航行到乙地,停留一段时间后,又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从 甲地出发后所用的时间为t (小时),航行的路程为s (千米),则s 与t 的函数图象大致 是( )
5.(2011泰安)已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示, 则m 、n 的取值范围是( )
A.m >0,n <2
B. m >0,n >2
C. m <0,n <2
D. m <0,n >2
6. 某公司营业员的月收入与他每月的销售量成一次函数的关系, 其图象如图所示,则该营业员的固定月收入是___________.
7.已知点A 坐标为(-1,-2),B 点坐标为(1,-1),C 点坐标为(5,1),其中在直线y=-x+6上的点有_________,在直线y=3x-4上的点有_______.
y
x
O D
y
x
O y
x
O A
B
y
x
O C
1300 800 1 2
y x
O。