提出ARIMA(p,d,q)（差分自回归滑动平均 ）模型 （Box—Jenkins 模型） --经典模型。
(其中p为自回归项数，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳 序列所做的差分阶数)。
Box—Jenkins模型实际上主要是运用于单变量、 同方差场合的线性模型 ，存在局限性。
Cramer分解定理（1961）
Var (
t
)
E(
2 t
)
所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考 察残差平方序列是否平稳
异方差处理方法
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为ARIMA(( p1, , pm ), d, q)
p1, , pm 为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d, (q1, , qn ))
q1 , , qn 为非零移动平均系数的阶数
对季节效应的常用拟合方法
给定季节指数 St St
建立季节自回归模型
Tt 0 1 xtm l xtlm
完善阶段
异方差场合 Robert F.Engle，1982年，ARCH（自回归条件异方差）模 型。 Bollerslov，1985年GARCH（时变自回归 ）模型 都是对经典ARIMA模型的很好补充。
xt
Tt
St
t
t 1 t1 p t p at
E(at
)
0,Var(at
)
2
,
Cov(at
,
at
i
)
0,
i
1
对趋势效应的常用拟合方法
自变量为时间t的幂函数
Tt 0 1 t k t k t
自变量为历史观察值
Tt 0 1 xt1 k xtk t
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ0=0时，称为中心化AR(p)模型
Green函数
AR模型的传递形式
由(B)xt t可得（过程略）
xt
t
(B)
j0
p
ki
ij
t
，
j
记xt
i 1
Gjt j
j0
G j B j t G(B) t j0
其中ki(i=1,…,p)为常数，λi为特征值且在单位圆内
t
s
)
0,
s
t
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
பைடு நூலகம்数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 (B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B) 11B 2B2 pBp
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 q Bq
可转化为无穷阶MA模型
分类
简单指数平滑 Holt两参数指数平滑
季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期 内各时期季节性影响的相对数
季节模型
xij x S j Iij
季节指数的计算
计算周期内各期平均数
n
xik
xk
i 1
n
计算总平均数
, k 1,2, , m
nm
xik
x i1 k 1 nm
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为
ARIMA(( p1, , pm ), d, (q1, , qn ))
季节模型
简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型
简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt St Tt It
简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
推断出各种确定性因素彼此之间的相互 作用关系及它们对序列的综合影响
趋势分析
目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分 析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并 利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测
常用方法
趋势拟合法 平滑法
趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法
分类
n期中心移动平均 n期移动平均
指数平滑法
指数平滑方法的基本思想
在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言， 一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的 结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影 响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响， 各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是 指数平滑法的基本思想
d 0时，原序列方差非齐性
ARIMA(0,1,0)模型
Var(xt
)
Var(x0
t
t1
1)
t
2
d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA(0,1,0)模型
V
ar(xt
)
V
ar(
t
)
2
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
【注意】（1）MA模型总满足平稳条件 ；（2） AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。 （3）系数敏感性较AR模型差。
MA的逆函数的递推公式
对可逆的MA模型，有
xt
t
( B) t
I (B)xt
(B)I (B)xt
xt
逆函数I(B)递推公式
I0
I j
1
j
kI
k 1
j k，j
1,2,
Dd xt
(B) (B)
t
乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复 杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取
假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构
任何一个时间序列{xt } 都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
(B)at
随机性影响
确定性因素分解
现在的因素分解
长期趋势波动 季节性变化 随机波动
确定性时序分析的目的
克服其它因素的影响，单纯测度出某一 个确定性因素对序列的影响
可转化为无穷阶AR模型
3、传递形式与逆转形式
传递形式
逆转形式
xt 1(B)(B)t
t G jt j j 1
Green函数：
t 1(B)(B) xt
xt I j xt j j 1
逆函数：
G0 1
Gk
k
jGk j j
,
k 1
j1
I0 1
I
k
k
j Ik j j
框中式子称为AR模型的传递形式，而系数 {Gj,j=1,2,…}称为Green函数。
Green函数性质：呈负指数下降，且
lim |
j
Gj
|
0
（2）Green函数递推公式
由
(
xt
B)xt G(
B)
t t
(B)G(B) t
t
利用待定系数法解上述方程可得递推公式
G0
G j
1
j
kG jk，j
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
随机游走模型( random walk)
模型结构
xt xt1 t
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊
第七章
时间序列分析模型
本章结构
时间序列模型发展 基础阶段-平稳时间序列模型 核心阶段-非平稳时间序列模型 完善阶段-异方差条件下模型
时间序列分析方法的发展过程
基础阶段 核心阶段 完善阶段
基础阶段
G.U.Yule
1927年，AR（自回归）模型
G.T.Walker
1931年，MA（平均）模型
,
k 1
j 1
其
中j
j, j
0, j
p
,
p
j
j, j q
0, j q
平稳时间序列建模步骤
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
No 模型 Yes 型
列
检验
优
预
化
测
核心阶段
G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》。
ARMA（自回归移动平均）模型
AR模型
1、定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归 模型，简记为AR(p)
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
p 0
保证最高阶数为p
E(
t
)
0,Var(
t
)
2
,
E(
t
s