归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
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典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
二次根式.
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例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
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思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
图
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积
为6m2，则它的宽为___3__m．
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归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0；
条件： B≥0；

...
N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如
B 有意义的条件：
A
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如
A 1 有意义的条件：
B
A≥0且B≠0.
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练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的个数有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
二、新授
一 二次根式的概念及有意义的条件
上面问题中，得到的结果分别是： 2，S， 3，h．
5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
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(2) x 3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母
(2)若式子
x
1
2

x 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
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二 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意 义？ x3 呢？
或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
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【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
(1) x2 2x 1;
(2) x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
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通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
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复习引入
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一、引入
情景引入 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的 印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
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下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注 意前方高能表情包.
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八年级数学下（人教版） 教学资源
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
一、引入
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二、新授
三、巩固
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四、总结
教学目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
∴当x=1时，x2 2x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数，x2 2x 3在实数范围内都无意义.
归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进 行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
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问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
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（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 ___h5__．
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(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析：是否含二次根号 是
被开方数是 不是非负数
是
二次根式
否否
不是二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负
数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是