实际原子的热辐射公式及爱因斯坦吸收系数确定彭国良福建省武夷山市环保局 ( 354300 )E-mail (*********************** )摘要：本文通过假定绝对黑体同一般物质一样由分子组成，称为黑体分子。

黑体分子满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面外全部不吸收，也称为绝对黑体分子的吸收截面。

对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于黑体分子的吸收截面，黑体分子的吸收截面也是黑体分子的辐射截面，所有实际原子的辐射截面都相同，都与黑体分子的吸收截面相等。

在此基础上，根据基尔霍夫公式和普朗克公式可以推导出一个实际原子在各种温度下辐射热能谱的公式；根据原子中电子跃迁的几率与原子吸收相应光子的速率存在对应关系，可确定爱因斯坦吸收系数A ，吸收系数B 的函数关系。

本文还推导了在两个不同温度原子之间辐射与吸收光子的相应关系。

关键词：黑体辐射；活化光子吸收截面；辐射截面；爱因斯坦吸收系数。

1引言所有物体都能发射热辐射，而热辐射与光辐射一样，都是一定频率范围内的电磁波。

1859年【1】，基尔霍夫（G.R.Kirchhoff ）证明，黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度),(T fu 随频率变化曲线的形状与位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

1893年，维恩（W.Wien ）发现黑体辐射的位移律实验测得黑体辐射本领在不同温度下，随波长的变化规律。

根据维恩位移公式，可以确定黑体的辐射本领极大值所对应的频率f m 与黑体绝对温度成正比。

1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式。

但普朗克黑体辐射公式只能应用于黑体辐射情况，而不能对实际原子的热辐射情况进行预测，实际上，现代就没有各种物质原子的热能谱辐射公式。

原子能级之间的跳跃一般伴随着辐射的吸收和发射，这是原子体系与辐射场相互作用的结果。

爱因斯坦在1917年提出的辐射的发射和吸收理论，他用清晰的物理概念简洁地给出了受激发射与自发发射，吸收系数三者之关系，即著名的A 、B 系数；并推导出A 、B 系数之间的关系,但爱因斯坦没能给出A 、B 系数单独存在的物理函数关系;本文将推导和阐明A 、B 系数单独存在的物理公式及其物理意义。

2. 黑体原子或黑体分子的热辐射场原子之间的碰撞也可以改变原子内部运动状态，引起原子激发，从而发出电磁辐射。

原子动能越大，通过碰撞引起的原子激发就越高，从而发出的辐射量子的频率也就越高。

而这种辐射量子的频率，则与辐射原子的内部能级结构有关[1][2][3][4][5]。

考虑由大量原子组成的宏观系统。

一定温度下，原子的动能有一个分布，则发出的辐射量子的频率也有一个分布。

这时的辐射场，是由大量具有不同频率的辐射量子组成的宏观体系。

其中具有哪些频率，一般地与辐射原子的内部能级结构有关。

而这些辐射量子在各个不同频率上的分布，则与整个辐射场的统计性质有关。

在一个封闭容器中，宏观物质既发出电磁辐射，也吸收电磁辐射。

经过长时间后，宏观原子体系与辐射场达到热平衡。

达到热平衡的辐射场称为热辐射场，简称热辐射。

热辐射是由大量光子（辐射量子）组成的处于统计平衡的宏观热力学体系，所以又称为光子气体。

热辐射是均匀、稳定和各向同性的，与位置、时间和方向无关，在某一频率f 附近单位频率范围内的热辐射能量密度，只与频率f 和温度T 有关，用μ来表示。

μ（f ，T ）=在频率f 附近单位频率范围内的热辐射能量密度。

这个函数μ（f ，T ）称为热辐射的谱密度，简称热辐射能谱或热辐射谱。

对所有的辐射频率求和，就可以得到热辐射的能量密度μ（T ），μ（T ）=⎰μ（f ，T ）df （1）知道了热辐射能谱μ（f ，T ），就可以算出照射在物体单位表面积上的辐射通量谱: e （f ，T ）=π）μ（4,cos S c S 1Ω⋅∆∆⎰d T f θ =⎰⎰Φ2020d cos sin d 4),(c πθθθππμT f =41c μ（f ，T ） （2） 一个物体如果在任何温度下都能把照射到它上面的任何频率的辐射能完全吸收，则它看起来就是完全黑的，我们把这种吸收本领),(T f α与频率f 和温度无关而恒等于1的物体称为绝对黑体，简称黑体。

根据普朗克黑体辐射定律，就得到单位频率范围内的热辐射能量的谱密度μ（f ，T ），()1e h c 8,/h 320-==T kf B f f n T f πεμ， （3）这就是普朗克公式，代入λ/c f =并乘以2/λc ，就得到用波长来表示的热辐射能谱μ（λ，T ）， ()118,/5-=Tk hc B ehc T λλπλμ。

（4）辐射场能谱),(T f u 除以一个光子的能量hf ，就是在频率f 附近单位频率范围内的光子数密度：()1e 1c 8),(,/h 32-==T k f B f hf T f u T f n π （5） 3.黑体分子与一般原子的吸收及辐射截面。

照射在物体的参考通量谱与参考截面，绝对黑体满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面S b 外全部不吸收，也称为绝对黑体的最大吸收截面。

S b 是一常数，对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于S b ，所有分子都有一个相同的辐射截面，包括实际分子或黑体分子，这个辐射截面与绝对黑体的最大吸收截面S b 完全相等故所有物质单个分子的辐射截面均用S b 表示，所有物质分子的摩尔辐射截面均用b ε表示。

S b （相当于）可以看做所有分子的辐射截面。

温度所对应的能谱环境是黑体辐射能谱环境，而非实际原子辐射环境。

通量谱吸通量谱吸黑体分子的吸收截面实际原子的吸收截面φεεφφφεεεεb f b f b fb fb f LL s s n s n s a =⇒======n 为原子表面附近所处环境中的对应光子的密度数。

黑体分子的单位体密度。

α为实际物质原子的吸收本领，即该物质的最大光吸收本领。

f s 为实际原子对环境中相应频率光子的吸收截面，f ε为实际原子的摩尔吸光系数，b ε为黑体分子的摩尔吸光系数。

根据基尔霍夫热辐射定律，在相同温度和热平衡下，一般原子与黑体分子相比较，对环境中的对应光子吸收少，发射（辐射）也少，一个黑体分子的最大光子吸收截面Ls bb ε=。

),(,T f r E T f =实际原子的单位表面积发出的辐射通量谱，),(T f u 黑体分子的热辐射能谱密度，则有实际原子的发射（辐射）本领：),(4),(),(4),(,T f u C T f u T f C T f r E bfTf εεα=== （6）那么一个实际原子发射相应频率的光子的功率（光谱通量）为：),(4),(4),(),(4),(,T f u LC L T f u C LT f u T f CS T f r p fb b f b b T f εεεεεα==== （7）b ε为物质分子的摩尔辐射截面，一摩尔的原子发射相应频率的光子的功率（光谱通量）为：),(41),(T f Cu T f r f b εε=3.2介质分子的吸光系数介质在吸收形式上也可以引入一个复折射率来描述。

若令吸收介质的折射率[ ])1(ik n n +=则在介质内沿Z 轴的方向传播的平面波的电场可以写为：)](exp[)exp()](exp[t z cn i z c nk t z cni ωωωωω--A =-A =E -（8） 平面波的强度为：)exp()2exp(*02z z cnk Ω-I =-A =E •E =I ω（9） 式中，2A=I是Z=0处的光强，c nk /2ω=Ω称为物质的吸收系数。

该式表明光波的强度（能量）随着光波进入介质的距离Z 的增大按指数定律衰减，衰减的快慢取决于物质的吸收系数的大小。

上式通常称为布格尔定律或朗伯定律。

比尔朗伯（Beer-lambert)定律，平行的单色光通过一均匀吸收介质时，未被吸收的透射光强度t I 与入射光强度0I 的关系为: )(0)(00d te I eI I dc f Ω--==ε （10）式中d 是介质厚度，0C f ε=Ω为吸收质的吸收系数；C 0是吸收质的物质的量浓度，f ε为摩尔消光系数，其值与入射光的波长、温度、溶剂等性质有关。

可得：LNLs N s c fff f f εεε=Ω=⇒==Ω;0 （11）式中L 为阿伏伽德罗常数；0LC N=，N 为分子的密度数，即单位体积中吸收物质分子的个数；f s 为电子对光子的吸收截面；C 为光速。

3.3介质色散的经典模型现在我们应用经典的模型来具体地说明色散的物理内容。

为简单起见，设电介质由同一种分子组成，分子中的离子可看成静止不动，电子运动采用经典的谐振子模型[4][5][6][7][8]【9】。

电子在入射电磁波的作用下受到一有效电场eti eff E E ω-=0的作用。

在有效场的作用下，电子受迫振动，其运动方程为et i eff E m e E m e r dt dr dt r d ωω-==+Γ+02022 (12) 式中Г是量度电子所受阻尼力的量。

显然，上述方程的解为E i me r eff ωωωΓ--=220/ (13)由此立即得到电介质的电极化强度为E i mNe Ner P eff ωωωΓ--==2202/ (14)式中N 为电介质单位体积中的电偶极子数。

对于液体和固体，ε(ω)是比较复杂的。

但对于气体，尤其是稀薄气体ε（ω）可以简化。

此时，可以忽略分子之间的作用，即E E eff =，利用E P r 0)1(εε-=，（14）式可以简化为+=1)(ωεr ωωωεΓ--i m Ne 22002/ (15)并利用（15）式得+=0)(εωεωωωΓ--i mNe 2202/ (16) 这就是气体的色散关系。

由（16）式得：)1(γε+=r χγi n -=+≈21 (17)这里ωωωεγΓ--=i m Ne 22002/，实部n 为介质的折射率，虚部χ代表介质对电磁波的吸收，所以把χ叫做相关吸收系数。

容易得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Γ+-Γ==Γ+--+=22222002222222022002)(2)(21ωωωωεχωωωωωεm Ne k n m Ne n (18)可以令一个原子对相关吸收系数的贡献为β，可称为单原子相关吸收系数，根据（18）式则有：2222202)(2ωωωωεχβΓ+-Γ==m e N(19)由（19）式可得：2222202022)(222/2ωωωωεβωχωωωΓ+-Γ=====Ωm nc Ne ncN nc nc k n c nk （20）上式中，1≈n 。

将（11）式代入（20）式得：222220202)(2ωωωωεβωεΓ+-Γ==m nc Le nc L f (21)则一个电子对相应频率光子的吸收截面f s 为：222220202)(2ωωωωεβωεΓ+-Γ===m nc e nc L s ff (22) 在共振区，)(2))((,0002200ωωωωωωωωωωω-≈-+=-≈，（21）式简化为：22002)(4Γ+-Γ=ωωεεm nC Le f （23）3.4实际原子的热辐射能谱将（22）代入（6）式的实际原子的发射本领：),(4),(),(4),(T f u C T f u T f C T f r bfεεα==),()(4222220202T f u m n Le b ωωωωεεΓ+-Γ= （24） 当002f πωω==时，（24）式可化为：),(41),(0020T f u mn Le T f r b εεΓ= (25)把（21）式代入（7）式得到一个实际原子发射（辐射）相应频率的光子的谱功率（光谱通量）为：==df T f u L C df T f P f),(4),(ε df T f u m nc Le L C ),()(4222220202ωωωωεΓ+-Γ =df T f u m n e ),()(4222220202ωωωωεΓ+-Γ (26) 由（26）式可以发现，实际原子发射相应频率的光子的谱功率与该原子的摩尔吸光系数成正比关系。