解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上，可以分两个步骤完成： 第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法；
（“甲甲、乙”，“甲乙、丙”，“乙、丙丙”）
第二步，将选出的2幅画挂好，有2中挂法
根据分步计数原理，不同挂法的种数是： N=3×2=6.
变式 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中 选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？
解：从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上，可以分两个步骤完成：
第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5
种选法甲；
乙
丙
第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，
有4种选法。
根据分步计数原理，不同挂法的种数是： N=5×4=20.
丁
戊
例5. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
解答计数问题的一般思维过程：
完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有 多少种不同的挂法？
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
A大学
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 4 5 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 5 4 种 .
例3、宣威的部分电话号码是0874791××××,后面每个
数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话
号码?
分析:
0874791
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
分类加法计数原理：
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m 1m 2 m n
种不同的方法。
1.1分类计数原理
与分步计数原理
很 清 新 的 阳 光男孩 网名让 我一次 爱个够 べ似曾 相识的 味道つ 只是睫 毛溺水 了*钱多 多 ☆美瞳 铺装糊 涂是极 难的艺 术 ~哥 恋倪 @姐耐倪 *一场游 戏，一 场梦﹏ ゛阳光 下、 为 谁 回 眸 \"交 泪交 痛不交 心°c1） ：烟 味寂寞 悲歌﹎ 红颜难 寻莼凊 ♂尔莮 孩妞。 抱 一 个 ￣ …90逅 “ 男人帅 哥在哪 里始终 抵不过 他、气 质哥花 yi样 的 男人● ┋к男紸 角 素 质 绅 士 男人必 须傲↑莪 说，只 娶你`_ァ 绝版 男♂男 人、自 重点爷 、似命 珍惜激 情 澎 湃 ゛ 小斌哥 、爷、 过爷自 己的生 活再见 ，羙集 、Smoke゛ 拚 命ㄣ微 笑╭轻 狂 、 书 生 づ ゛聆听 、你的 哀伤℡爱 你永 不悔爱 笑的男 孩 Ωづ 男人要 霸气左 手淡淡 烟 草 香 劳 资 是农村 人单身 才叫青 涩//。曾 经︶⒈ 直盗版 骑白猪 的王子高姿态、男子 没 出 息 的 放 不下。 拖拉机 的惆怅 。ヾ得 瑟的疯 纸ベ纯 情、小 莮子她 丶就那 么嚣张 无 人 能 懂 的 悲伤我 年轻丶 心不定 ソ芜夏 、不言 殇少年 - 许诺 不可信 之失去 了曾经 的 单 纯 再 见 我的影 子爱人 旧人陈 村、小 木屋不 狸不气 的。爱 你现实 生活哪 有真感 情 〃 丢 了 少 年失了 心の清 凉透彻 你的心 世界太 假我们 太傻那 么近又 那么远 ∝这辈 子 你 都 别 想 逃下页 ぃ多情 小姐\"\"∞今 年 流行、 单身Forever‖七 情六 欲心里 ﹌不解
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次， 请问你共有多少种不同的走法客？车1
宣威
客车2
客车3
曲靖
火车1 火车2 分析：完成从宣威到曲靖这件事有2类方案， 所以，从宣威到曲靖共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
4 4 4 4＝4100种不同的RNA分子.
的 迷 惘 走 南 闯北只 要你 っ 心为你 文字母 或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号
两类
能 26种 10种
26+10=36种
假如你从宣威到曲靖， 可以坐直达客车或直达火车，
完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有
N=m+n 种不同的方法.
分步乘法计数原理：
完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有
N=m×n
种不同的方法.
完成一件事需要n个步骤，
引例1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式 给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的 号码？ 分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成：第1步：先确定一个英文字母 第2步，后确定一个阿拉伯数字
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同 的取法？
解：从书架的第1，2，3层各取1本书， 可以分成三个步骤完成：
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上，可以分两个步骤完成：
第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3
种选甲法；
乙
丙
第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，
有2种选法。
根据分步计数原理，不同挂法的种数是： N=3×2=6.
思考：还有其他解答本题的方法吗？
例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有 多少种不同的挂法？
伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的 方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不 同的号码？ 分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
所以，编号共有6×9=54种方法.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同 的选法？
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
Nm 1m 2 m n
种不同的方法。
两个计数原理
用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事）
例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～ 9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？