，而应变
，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若 （1）、已知给定应力路径为 （2）、已知给定应变路径为
，试求 ，求对应的应变值。 ，求对应的应力值。
（1）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；④、
，
⑤、 ，
（2）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；
④、
，
⑤、 ，
5.4 在拉伸试验中，伸长率为
Mises 屈服条件：
故有
6.5 试用 Lode 应力参数 表达 Mises 屈服条件。 解：由定义：
即 Mises 屈服条件为 将上式代入，得：
即：
6.6 物体中某点的应力状态为
，该物体在单向拉伸
时
，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性
状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被 研究点所处状态的判断有无变化? 解：（1）Mises 屈服条件判断
6.8证明下列等式： （1）、 证明：（1）、右边
（2）、
=左边
证毕！
（2）、
证毕！
6.9 设 、 、 为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为
，提示：
证明：Mises 屈服条件：
，
，
又 又
证毕！
第七章 塑性本构关系
7.1 塑性全量理论的成立条件： 解：（1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相 似，应力 Load 参数 和应变 Load 参数 相等，而且在整个加载过程中主方向
力为多大，并求此时塑性应变增量的比。
解：设扭转剪应力 入 Mises 屈服条件，得
，主应力为： 。
，
，代
7.7 证明等式：
证明：
将 对 求偏导，可得
，同理可得
，
，
，所以
；用同样的方法求得
。
7.8 一泊松比为 ，满足 Mises 屈服条件的单元体，已知其受力状态为
，
， ，x,y,z 是主方向。求： （1）当 从零增加到 时屈服，求 ；
解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为
曲
线，这不难由原式推得
而在强化阶段，
，因为这时
将 都移到等式左边，整理之即得答案。
其中
5.7 已知简单拉伸时的 变的比值
曲线由（5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应
在弹性阶段，
为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后 值开
始增大最后趋向于 。试给出 解：按题设在简单拉伸时总有
，再求应力偏张量，，来自，，，
。
由此求得：
然后求得：
，
，解出
然后按大小次序排列得到
，
，
1.9 已知应力分量中
，求三个主应力
，以及每个
主应力所对应的方向余弦
。
解：特征方程为
记
，则其解为
，
，
。对应于 的方向余弦 ， ， 应满足下列关系
由（a）,(b)式，·11得
（a） （b） （c）
， ，由此求得
，代入（c）式，得
7.5 已知一长封闭圆筒半径为 r,壁厚为 t，受内压 p 的作用，从而产生塑性变形， 材料是各向同性的。如果忽略弹性应变，试求轴向、周向和径向应变增量的比。
解：在
方向的主应力分别为：
，则
，从而求得应力偏量 ，得最终结果为（-1）：1：0
，再根据增量理论
7.6 已知薄壁圆筒受拉应力
的作用，若使用 Mises 屈服条件，试求屈服时扭转应
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
进入塑性阶段，当
时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故，
此结构
。
第六章 屈服条件和加载条件
6.1 简述屈服面、屈服函数的概念： 解：根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界 限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起来，就形成一个 区分弹性和塑性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服 函数或屈服条件。
对，
，代入得
对，
，代入得
对，
，代入得
1.10当
时，证明
成立。
解： 由
，移项之得
证得
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 简述 Bauschinger 效应： 解：拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象
5.2 在拉杆中，如果 和 为试件的原始截面积和原长，而 和 为拉伸后的截
面积和长度。则截面收缩率为 时，有这样的关系： 证明： 体积不变，则有
z
且 利用平衡方程
当
时， 为（e）式。
（3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。
本构方程 与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得
（e） （f） （g）
5.9 如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处作用一个逐渐增加 的力 。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析
结构所处不同状态，并求力 作用截面的位移 与 的关系。 解：基本方程为
故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断
故该点处于塑性状态 如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。
6.7 已知薄壁圆球，其半径为 ，厚度为 ，受内压 的作用，如采用 Tresca 屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压 值。
解：研究半球的静力平衡
内球面：
，外球面：
由 Tresca 条件，内壁先开始屈服，此时
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
图5-1
解：的定义、物理意义：
；
1) 表征 Sij 的形式；2) 相等，应力莫尔圆相似，Sij 形式相同；3) 由可确定 S1：S2：S3。
1.4设某点应力张量 的分量值已知，求作用在过此点平面
力矢量
，并求该应力矢量的法向分量 。
解：该平面的法线方向的方向余弦为
上的应
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量 满足关系
式中：
是三个应力不变量，并有公式
代入已知量得
为了使方程变为 关系
形式，可令
代入，正好 项被抵消，并可得
代入数据得
，
，
1.7已知应力分量中
，求三个主应力
解：在
时容易求得三个应力不变量为
，
特征方程变为
。 ，
求出三个根，如记
，则三个主应力为
记
1.8已知应力分量
， 是材料的屈服极限，求 及主应力
。
解：先求平均应力
对于平面应变（在 xoy 平面内）有：
同时： 屈服应力。
，其中 k 为纯剪
整理得：
是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定：
整理得：
证毕！
8.5图示的楔体，两面受压，已知 p
，分别对 q=0.5p,q=p 两中情况，求极限荷载
解：① q=p 时，见图（1），在
沿
线，
，
② q=0.5p 时， 情况一见图（2），在
曲线基本上和简单拉伸时的
曲线一样。
7.4 比较两种塑性本构理论的特点： 解：增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列的微小增量加 载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系， 再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。全量理论不去考虑应力路径的影 响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。
并从零开始增加，求三杆内力随 的变化规律．
解：基本方程为
几何方程： 协调关系：
本构方程：
（1）弹性阶段（
）
利用（a）、（b）及（c）第一式，联立求解得
（a) （b）
即
可看出 结构弹性极限：令
有
（2）弹塑性阶段（
）
取
，结构成为静定，由平衡方程
解得
若取
，即
此时 即当
时，内力为上列
值，当
时，杆1和杆2 已
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。