第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-11191000323200323350313100S S S -=-=⨯-⨯-⨯=++=n m l z y x σ125003200335031002222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=z y x S S S S4.1391000125002=⎪⎭⎫⎝⎛-=τ1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。

解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000019200060014023=-+-σσσσ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='ΛΛΛij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛi σ σ8=σm =46.71.39)()()(312132322218=-+-+-±=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。

解：由应力平衡方程的：0zy x 0xy 3c xy 2c z y x 0x c y 3c x 3c 6y z y x zzy zx 23yz y yx 2322212zxyx x =∂∂+∂∂+∂∂=--=∂∂+∂∂+∂∂=--+-=∂∂+∂∂+∂∂στττστττσ即：()()0x c -3c y3c 623122=++- （1）03c 2c 23=-- （2）有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=31-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 03750875005805005⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=21，n=21的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。

解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=240502180********+=⨯+⨯+⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 25.372521752150-=⨯-⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=2155.22130********-=⨯-⨯-⨯S=111.7J1=20 J2=16025 J3=-806250σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.61-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。

解：a ）点的应力单元体如下图2）a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±m=0；n=;22μ σ2=-10 MPa ，l=m= n=0σ3=0 MPa ，l=;22±m=0；n=;22± 主剪应力τ12=±15 MPa ；τ23=±5 MPa ；τ12=±10 MPa最大剪应力τmax =15 MPa八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=12.47 MPa 。

等效应力45.26=σMPa 应力偏张量及球张量。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=302001-0304010-032ij σ MPa ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301000301000301ij σ MPa ； b) 点的应力单元体如下图⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=2500 MPa ，J 3=500 MPa ，主应力和主方向：σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;22±n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;22±n=0。

主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax =30 MPa八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=41.1 MPa 。

等效应力2.87=σMPa 应力偏张量及球张量。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30200030150050301ij σ MPa ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100031000301ij σ MPa ；c) 点的应力单元体如下图⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=-18 MPa ，J 2=33 MPa ，J 3=230 MPa ，主应力和主方向：σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;22±n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;22±n=0。

主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax=30 MPa八面体应力σ8=-6MPa ；τ8=9.7 MPa 。

等效应力σ=20.6MPa 应力偏张量及球张量。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12001-085-10-5-16-ij σ； ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=600060006ij σ1-19．平板在x 方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点x σ=常数，试问y σ为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。

图1-23（题19）解：等效应力：()[][]2x2y2yx2xz2yz2xy2zx2zy2yx)()()(216)()()(21σσσστττσσσσσσσ++-=+++-+-+-=令2x2y2yx)()()(yσσσσ++-=，要使等效应力最小，必须使y 值最小，两边微分得：xyyxyyyyyx20-20d dy d 2d )(2σσσσσσσσσσ====+-等效应力最小值：[]x2x2y2yxmin3)()()(21σσσσσσ=++-=1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K ，如图1-24所示。

试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y 方向上的正应力σy 及切应力τxy ，且将σy ﹑τyz 及σx 、τxy 所在平面标注在应力莫尔圆上。

图1-24（题20）解：由题意得知塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K ，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。

图1-25θτθσσos2c K Ksin2xy y =-=第二章2-9．设xy a ;bx );y 2x (a xy 2y 22x==-=γεε，其中a 、b 为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？ 解：对)y 2x (a 22x-=ε求y 的2次偏导，即：4a y2x2=∂∂ε （1） 对2yx b =ε求x 的2次偏导，即：2b x2y 2=∂∂ε （2）对xy a xy=γ求x 和y 的偏导，即：a yx xy 2=∂∂∂γ （3）带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：y x xy xy yx ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 （4） a )2b 4a (21=+ 即：-b a =时上述应变场成立。

2-10试判断下列应变场是否存在？（1）2x xy =ε，y x 2y =ε，xy z =ε，0xy =γ，()y z 212yz +=γ，()22xz y x 21+=γ（2）22x y x +=ε，2y y =ε，0z =ε，2xy xy =γ，0xz yz ==γγ（1）解：对2x xy =ε、y x 2y =ε和xy z =ε分别求x 、y 或z 的2次偏导，对0xy =γ、()y z 212yz +=γ和()22xz y x 21+=γ分别求x 、y 和z 的2次偏导，则：2xy 2x2=∂∂ε, 0z 2x 2=∂∂ε； （a ） 2y x2y 2=∂∂ε,0z2y 2=∂∂ε； （b ）0x 2z 2=∂∂ε，0y 2z 2=∂∂ε； （c ） 0yx xy2=∂∂∂γ，0z y zy 2=∂∂∂γ；0z x zx 2=∂∂∂γ （d ） 将（a ）、（b ）、（c ）和（d ）代入变形协调方程（e ）：y x x y xy yx ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 z y yz yz zy ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 （e ） x z zx zx xz ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 则（e ）第一式不等，即：0)2y 2x (21≠+这说明应变场不存在。