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高中数学课题教学设计案例

高中数学课程可选内容的资源-------数学建模、数学课题学习的教学设计的案例1.升旗中的数学问题(一)问题情景和任务问题情景:在不同地区,同一天的日出和日落时间不尽相同;对一个地区而言,日出日落时间又是随日期的变化而变化的。

北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落,下表给出了是天安门广场2003年部分日期的升、降旗时刻表:任务1:试根据上表提供的数据,分析升、降旗时间变化的大致规律;建立坐标系,将以上数据描在坐标系中;任务2:分别建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型;利用你建立的函数模型,计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间;任务3:利用年鉴、互联网或其它资料,查阅北京天安门2003年升旗时间表,检验模型的准确度,分析误差原因,考虑如何改进自己的模型。

任务4:你所生活地区(城市、省、乡村等)某年不同的日期的“日出和日落”的时间,建立一个函数关系。

(二)实施建议与说明通过对升旗中数学问题的求解和讨论,进一步了解相关数学知识的意义和作用,体验数学建模的基本过程,增强数学知识的应用意识。

理解用函数拟合数据的方法,提高对数据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。

在这个探求活动中,要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。

1.组成学习探究小组,集体讨论,互相启发,形成可行的探究方案,独立思考,完成每个人的“成果报告”。

2. 任务1的建议:为了便于在坐标系中观察表中数据,选择适当的计量单位,如升旗时刻以10分之为一个单位,日期可以天为单位,即1月1日为第0天,12月31日为第364天;可借助图形计算器或其它工具绘制各点,3.任务2的建议:利用自己的生活经验,或者访问家长、地理老师等,结合散点图,选择学过的适当函数,作为刻画该关系的模型;要应注意关键数据(如最早升(降)旗时间和最迟升(降)旗时间等)在确定拟合函数参数中的作用;4.任务3的建议:根据观察坐标平面上所绘制点的走向趋势,可以考虑分段拟合函数。

5.“成果报告”的书写建议成果报告可以下表形式呈现。

表1:探究学习成果报告表年级班完成时间5.成果交流:建议以小组为单位,选出代表,在班级中报告研究成果,交流研究体会。

6.评价建议:在评价中,采用自评、互评、教师评价相结合的形式,善于发现别人工作中的特色,以下几个方面的内容可作为重点考虑:(1)求解过程和结果:合理、清楚、简洁;(2)独到的思考和发现;(3)提出有价值的求解设计和有见地的新问题;(4)发挥组员的特长,合作学习的效果;(5)合理使用技术;(6)查阅文献,获取信息的能力。

(三)教学参考信息第七届数学知识应用初赛试题题目:在不同地区,同一天的日出和日落时间不尽相同;对一个地区而言,日出日落时间有时虽日期的变化而变化的。

北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起,伴着太阳降落。

表1是天安门广场2003年部分日期的升旗时刻,表2是天安门广场2004年2月部分日期的升旗时刻。

请回答下面的问题:(1)建立坐标系,将表1数据描在坐标系中;(2)根据已给数据建立数学模型,估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间;(3)如果你打算在“五一”观看升旗,选择什么时间到达观看点?表1表2解:(1)将数据描在坐标系中,如图1-23(2)天体运动具有很强的周期性,所以日出日落时间成周期变化。

观察题内两表,2003年2月10日升旗时间是7:14,2004年2月9日是7:15,2月11日是7:13,可以认为,在这几天,两年的升旗时间是相同的;2003年3月2日升旗时间是6:47,2004年2月27日是6:52,2月29日是6:49,再过两天就是3月2日,显见,在这几天,两年的升旗时间也是相同的。

于是可以进一步认为,2003年和2004年同期的升旗时间基本上是相同的。

在观察2003年的图像,整体来看与余弦函数相象。

但就局部来看,从2月末到5月中旬,这些点基本上是共直线的(5月1日正在这个范围内),从7月中旬到12月初也如此。

因此,以线性函数为模型,用已知数值拟合出函数,估算五一节的升旗时间。

不妨设函数模型为 y=ax+b x ∈[3 , 5.5]取4月28日的5:19和5月16日的4:59,因为升旗时间是早上,所以5月16日就记作31155,5月1日就记作5,于是有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a b a 31155605943027460195 得 y=-0.5709x+8.114对于 x=5,有 y=-0.5709⨯5+8.114=5.26 5.26月为5:15所以,2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5:15。

(3)因为5:15是个近似值,且是估值,为了确保不误事,所以,2004年“五一”观看升旗,就应该在4:59(2003年5月16日的升旗时刻)至5:15这段时间到达。

2. 正方体截面的形状(一)问题情景与任务用一个平面去截正方体,截面的形状是什么样的? 1.给出分类的原则(例如:按截面图形的边数分类)。

按照你的分类原则,能得到多少类不同的截面?设计一种方案,找到截得这些形状截面的方法,并在正方体中画出示意图。

2. 如果截面是三角形,你认为可以截出几类不同的三角形? 3. 如果截面是四边形,你认为可以截出几类不同的四边形? 4*. 证明上面的结果。

5*. 截面多边形的边数最多有几条?请说明理由。

6*. 截面可能是正多边形吗?可能有几种?画出示意图。

7*. 如果截面是三角形,其面积最大是多少?画出示意图。

8*. 你还能提出哪些相关的数学问题?(二)实施建议与说明图1—23该课题学习设计的意图1. 按课标要求,在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动,而活动的开展是要有一个渐近的过程的,学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、学习的过程,所以在本模块设计该课题,是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。

2. 该课题涉及内容:点、线、面的位置关系及直观图画法。

涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理,本课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用的过程。

3. 该课题的学习很好的体现了立体几何初步一章的基本要求:有助于认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。

4. 在本章末安排该课题学习,一方面给学生提供一个施展所学的舞台;另一方面,也达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思,加深对空间图形的认识和理解。

此外,该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力,体验数学研究的过程,认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系,鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。

课题学习的实施建议采用形式:形式一(能有效节省课时,但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力):首先分组(2-3人)进行课下讨论研究,适学生情况,可建议学生通过实验操作进行研究,最后形成小组的学习报告。

然后,根据学生的学习报告完成情况,在课上让部分小组报告他们所得到的结果,阐述理由。

并回答教师或其他学生提出的问题,共同研究讨论。

形式二(需要较多课时,适合于没有自主探究、学习的习惯和经验的学生,有利于他们初步认识、了解自主学习的开展):让学生课前准备几个正方体模型,课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。

可以让学生前后桌四人一组,对引导问题逐一研究讨论,分组报告研究结果,阐述理由,并接受教师和学生的质疑。

对课上未能很好解决的问题,或是由此而引发的新的问题,可以布置给学生课下去探索、研究,并完成研究报告。

根据情况,可以适当安排时间让学生报告。

教学实施中要注意的几个问题:1.无论是课下指导,还是课上教学实施过程之中,教师都要注意引导学生从直观、感性的猜测,到严密、理性的思考和推理论证上来,帮助学生认识到两者在数学研究中的关系;注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点,使学生学会欣赏别人,并从中吸取友谊经验;注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点;注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动。

2.采用形式一时,教师应注意及时了解学生研究的进展情况,加强对学生自主研究、学习的指导;对没能在课上进行报告的小组,要进行及时鼓励性评价,积极肯定其长处,并指出不足之处,做到关注每一个学生。

目的是让所有学生从中受益。

3.采用形式二时,教师除了要关注1.中要点外,要特别注意是引导学生进行主动研究、学习,而不是取而代之,自己给学生讲解。

此外,在布置的课下任务中,可以适当拓宽一些,不必仅局限于该课题学习内容本身。

如:(Ⅰ)通过对正方体棱上点确定的截面的作图方法的了解,利用几何画板制作课件,通过课件进行研究。

(Ⅱ)研究满足某些特定条件的截面形状及性质:与棱平行的截面;与体对角线垂直的截面;等分正方体的截面等。

(Ⅲ)一个装有定量液体(不满)的封闭中空的正方体随着位置的某种规则(如:以一棱为轴旋转)变化,液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质,各接触面之间有怎样的关系?处于何位置时接触面最小?何位置时液面面积最小?(Ⅳ)研究其它几何体截面形状。

4.帮助、指导学生完成课题学习报告特别是以下几个方面:课题学习中发现的新问题,可拓展的或与其相关的问题;课题研究的自我评价,包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等;课题学习的反思和体会,包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的,某种特别的感受等。

(三)教学参考信息1.课题学习报告的结构形式:“正方体截面形状问题”课题学习报告年级班完成时间若上表填写时地域不够,可以自己增加副页,也可以自己设计一个研究报告的报表。

2.课题研究的部分结论(1)多边形的种类:三角形,四边形,五边形,六边形。

(2)截面三角形只能是锐角三角形(可以是等腰,等边).如图1-21,22222''a b c b c=+<+,由预先定理222cos02b c aAbc+-=>,所以边a所对角为锐角,同理可得其余角也为锐角。

或由图可知边a所对顶点在以a为直径的圆外,所以该角为锐角,同理其余角也为锐角。

(3)因为正方体的六个面中,有三对平行面,截面多边形的边是平面与正方体的面的交线,所以截面多边形最多是六边形,其中四边形截面至少与一组平行面相交,所以四边形中至少有一对边平行。

截面多边形可以是正方形,矩形,菱形,平行四边形,等腰梯形,其它梯形。

五边形截面至少与两组平行面相交,所以有两组平行边,所以必然有两内角相等。

六边形截面一定与三组平行面都相交,所以必有三组平行边,所以有三组相等内角。

(4)截面多边形可以是正三角形,正四边形和正六边形。

建议教师提出下列相关引申的问题:①满足特定条件的截面多边形形状:*与正方体一棱垂直的平面,截得的截面多边形只能是正方形;*与正方体的一条棱平行的平面,截出的截面多边形只能有正方形,矩形;*与正方体的以体对角线垂直的平面,截得的截面多边形只能有正三角形,各内角相等图1-21的六边形;过正方体中心的平面,截得的截面都是中心对称的多边形,具体的只能有正方形,矩形,菱形,平行四边形,对边相等的六边形;*与正方体的一面对角线平行的平面,截得的截面多边形只能是等边三角形,等腰三角形,等腰梯形,正方形,矩形,菱形,可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五边形,可拆分成两个等腰梯形的六边形。

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