研究生 习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。

2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此 当 31=c 时，)2(~2χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξ 为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。

（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξ =， 所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。

（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ， 所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。

2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(!!1!)(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----=ξ所以 当 10<<x 时，x tdt tdtx p x x 2212!1!2!4)(020)3(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ξ()()()25222124124x x x x x -=-= 即 统计量)3(ξ的密度函数)()3(x p ξ为：⎩⎨⎧<<-=其它10)1(24)(253x x x x p（2） 由于 当10<<x 时，86025334)]1(24[)(x x dt t t x F x -=-=⎰所以 )3(ξ的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤=11103400)(863x x xx x x F （3）)21(121121)3()3(F P P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ξξ256243213214186=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=习题3：3-3. 已知总体ξ的分布密度为：)0(00);(>⎩⎨⎧≤>=-λλλλx x e x p x设),,,(21n ξξξ 是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3解：矩法 由于 x xde x dx ex dx x xp E λλλλξ-+∞+∞-+∞∞-⎰⎰⎰-===);([]λλλλλ110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=+∞-∞+-∞+-⎰x xx e dx exe令 ξξ=E 所以 ξλ1ˆ=MIE 当0>x 时，构造似然函数∑===-=-∏ni iix n ni x ee L 11)(λλλλλ所以 ∑=-=ni i x n L 1ln )(ln λλλ 令0)(ln 1=-=∑=ni i x n d L d λλλ 得 ∑∑====ni i ni ix n xn1111ˆλ即 λ的极大似然估计量为ξλ1ˆ=3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L 化验，每升水肠杆菌的个数（ 1L 水肠杆菌个数服从Poisson 分布），化验结果如下：试问平均每升水肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？3-5解：由于 1L 水肠杆菌个数服从Poisson 分布所以 )0(!)(>=-λλλe x x p x所以 λ的估计量为 ξλ=ˆ 即有 1)0014231022010(501ˆ=++⋅+⋅+⋅+⋅+=λ所以 平均每升水肠杆菌个数为1的概率为最大。

3-26. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s m S 11*=。

设炮口速度是正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的95%置信区间。

（参考数据：） 3-26解：设 ),,(~2σμξN 则 )1(~)1(222*--n S n χσ由 αχσχαα-=-<-<--1)}1()1()1({22122*22n S n n P得 2σ的α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(222*2212*n S n n Sn ααχχ将数据 81=-n ，535.17)8()1(2975.0221==--χχαn ，180.2)8()1(2025.022==-χχαn ， 11*=S 代入，得 2σ的95%置信区间为（55.2，444.0）， 即 σ的95%置信区间为（7.4，21.1）.习题4：4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量ξ在正常下服从)108.0,55.4(2N ，现在测了5炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37如果方差没有改变，问总体均值有无变化？（显著性水平05.0=α）（参考数据：） 4-1. 解：检验问题 010055.4μμμμ≠==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为已知，所以 ασμαμ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--2100u nx P 即 检验问题的拒绝域为210ασμ-≥-u n x 计算得：364.45151==∑=i i x x 有85.35108.055.4364.40=-=-n x σμ 而 96.1975.0205.0121===--u u u α，即有210ασμ->-u n x 成立， 故 拒绝0H ，即 认为总体均值有变化。

4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从),(2σμN ，2.5=σ。

为检验这台机器生产是否正常，抽取容量n =100的样本，并由此算得样本均值56.26=x ，问该机器生产的纽扣的平均直径为26=μ，这个结论是否成立？（显著性水平1.0=α） （参考数据：）4-2. 解：检验问题 010026μμμμ≠==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为已知，所以 ασμαμ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--2100u nx P即 检验问题的拒绝域为210ασμ-≥-u n x 由 56.26=x ， 2.5=σ， n=100 得08.11002.52656.260=-=-n x σμ 而 645.195.021.0121===--u u u α，即有n x σμ0-≯21α-u ， 故 接受0H ，即 认为这个结论是成立的。

4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗拉强度平均为52.002mm kg 。

现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢，从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）4-11. 解：检验问题 010052μμμμ>==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为未知，所以 αμαμ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥--)17(1*00t n S x P 即 检验问题的拒绝域为 )6(1*0αμ-≥-t nS x 计算得 136.527171∑===i i x x ， 71.2)(171712*∑==--=i i x x S ， n =7得133.0771.252136.52*0=-=-n S x μ 而 9432.1)6()6()6(95.005.011===--t t t α，即有 nS x *μ-≯)6(1α-t ， 故 接受0H ，即 认为强度均值无明显偏高。

4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的α粒子数ξ，其中i ν是观察到有i 个α粒子的次数。

从理论上来考虑知ξ服从Possion 分布 {}),2,1,0(!===-i e i i P iλλξ问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平05.0=α） （参考数据：）4-37. 解：检验问题 ξ：0H 服从Possion 分布 （在显著性水平05.0=α下） 100=n 2.41001ˆ=⋅==∑i i x νλ由公式，得 {}7,,2,1,0!2.4ˆ2.4 ====-i e i i P pi i ξ{}∑===711,10,9,8ˆi i P pξ 并计算2χ的观测值，见下表：即 检验统计量2χ的观测值为：2994.6ˆ)ˆ(22=-=∑i i i pn p n νχ 而 067.14)7()119()1(295.0205.0121==--=----χχχαr k 亦即 )7(205.012-<χχ 故 接受0H ，即 认为理论考虑符合实际。

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下：10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）4-45. 解：数据的顺序统计量为：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82所以 6131.0][)()1(51)(=-=-+=∑k k n k k x x aL ，又 5264.10=x ， 得38197.0)(1112=-∑=i ix x故 984.0)(11122=-=∑=i ix x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W即有 105.0<<W W ， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。