分段函数的几种常见题型及解法
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];
()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
3．例2．（05年浙江理）已知函数2
|1|2,(||1)
()1,(||1)1x x f x x x
--≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]
f f .
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
22(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩2
22(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
y x
A
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1
221(0)
()(0)x x f x x
x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若
0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例12
．设函数2
(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃
必修一测试题
一. 选择题（每题4分，共64分）：
1. 若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =⋃的集合B 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
2.方程062=+-px x 的解集为M,方程062=-+q x x 的解集为N,且M ∩N={2},那么p+q 等于（ ） A.21 B.8 C.6 D.7
3. 下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是（ ）
A.()
2
x y = B.y=33x C.y=2x D.y=x x 2
4.已知A={x|y=x,x ∈R},B={y|2x y =,x ∈R},则A ∩B 等于（ ） A.{x|x ∈R}
B.{y|y ≥0}
C.{(0,0),(1,1)}
D.∅
5.
32)1(2
++-=mx x m y 是偶函数，则)1(-f ，)2(-f ，)3(f 的大小关系为（ ） A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<-<f f f
C. )1()3()2(-<<-f f f
D. )2()3()1(-<<-f f f
6. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，则
)]
41([f f 的值是（ ） A. 91 B. 9 C. 9- D. 91
-
7. 已知A b
a ==53，且211=+
b a ，则A 的值是（ ）
A. 15
B. 15
C. 15±
D. 225
8、f(x)=(m-1)x 2
+2mx+3为偶函数，则f(x)在(2，5)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定
9.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B .[2,4] C .(]2,∞- D. [0,2]
10. 设10<<a ，在同一直角坐标系中，函数x
a y -=与
)(log x y a -=的图象是（ ）
11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)= （ ）
A. 0
B.1
C. -1
D.不存在 12.已知f(x)=3
X －
x
1
则f(x)是（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数也不是偶函数
二. 填空题（每题5分：共20分）
13． 函数()23log 3
2-=x y 的定义域为______________
14.24,02
(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==
⎨>⎩已知函数则__________；若00()8,f x x ==则_________
15. 函数x
a y =（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a
，则a 的值是__________
16、函数x
y 3log =（x>0），则其反函数是
三. 解答题（21、22各10分：23、24各12分；25、26各14分） 17.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1+x
1
，求：f(x)，g(x)解析式（10分）
18. 函数x x y 22+= x ∈[2, 3].求：函数的最大值和最小值 （10分）
19. 设集合}023|{2=+-=x x x A ，}02|{2=+-=mx x x B ，若A B ⊆，求:实数m 的值组成的集合（12分）
20. 已知全集U=}60|{≤<∈x N x ，集合A=｛}51|<<∈x N x ，集合B ＝{}62|<<∈x N x
求（1）B A ⋂ (2) (A C U )B ⋃ (2) )()(B C A C U U ⋂ (12分)
21.设2
44)(+=x x
x f ，若10<<a ，试求：
（1）)1()(a f a f -+的值； （2）)4011
4010()40113()40112()40111(
f f f f ++++ 的值； (13分)
22. 已知1
22
2)(+-+⋅=
x x a a x f )(R x ∈，若)(x f 满足)()(x f x f -=-， （1）求实数a 的值；
（2）判断函数的单调性，并加以证明。

(13分)。