线性代数一
一．单选题.
1.下列（ A ）是4级偶排列．
（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341．
2. 如果
13332
312322
211312
11==a a a a a a a a a D ，33
32313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=， 那么=1D （ B ）． （A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-．
3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．
（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+；
（C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．
4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*
kA 等于（ B ）． （A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -．
5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ）
（A ）s ααα,....,,21中有一零向量
(B)
s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C)
s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(212
1211ββααα++-+k k (C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(212
1211ββββα++++k k 7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（B ）
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=(B )
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若A 是（ ），则A 必有A A
='． （A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵．
10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．
（A ）()A A '='
22； (B) ()1122--=A A ； (C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]'=''---1
11)()(A A ． 二．计算题或证明题
1. 设矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=3241223k k
A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？
(2)求出P 及相应的对角矩阵。

参考答案：
(1)k = 0; (2)1111200,10211P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。

参考答案：
3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2
321
3213211a ax x x a x ax x x x ax
参考答案：
. 当1,2a ≠-时有唯一解：212311(1),,222
a a x x x a a a ++=-==+++
当1a =时，有无穷多解：112213
21x k k x k x k =++⎧⎪=⎨⎪=⎩
当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα 参考答案：
极大无关组为：124,,a a a ，且3123a a a =+，5124
a a a a =--+ 5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA
AB -是对称矩阵． 参考答案：。