N i N ip h N i
拱脚截面最终转角： a ap h a
(4.4.1-12)
按照变形协调条件，可以校核整个计算过程中有无错误。 s M i ds Mi a a 0 拱顶转角 EI E I (4.4.1-13) 拱顶水平 s M i yi M iyi EI ds f a E I f a 0 位移 s M i yih M iyih 最大反力 ds yah a yah a h EI E I K 点h处位移
2）弹性抗力假设 拱两侧的弹性抗 力一般假定为按二次 抛物线分布，有3个特 征点： ①上零点b，也是 脱离区的边界，其与 对称轴线间的夹角φb 一般40°~ 60°。 ②下零点a，取在 墙脚（无铰高拱 ）， 该点无水平位移。
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（1）建立计算模型
2）弹性抗力假设 ③最大弹性反力点h，一般假定在衬砌最大跨度 处。 实际计算中，为了简化起见，上零点b和最大弹 性反力点最好取在结构分块的接缝上。注意点的定 位方法。 通常：
h hp h h
(4.4.1-3)
式中，δh—为h点的径向位移；δhp—为h点在主动荷载作用下h 点的径向位移；δhσ在单位被动荷载作用下h点的径向位移。 根据文克尔假定：
h K h
将其带入（4.4.1-3）， h 解之即得：
hp
1 h K0
(4.4.1-4)
(4.4.1-9)
要求最大弹性反力σh，就必须先求出主动荷载和被动荷载作 用下的径向位移。求这两项位移时要考虑墙底转角的影响。按 照结构力学方法，求解位移可在原来的基本结构上进行。
h
hp
1 h K0
(4.4.1-4)
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按照结构力学力法分析原理，h点处 hp 、 h 计算公式如下
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荷载结构计算方法及设计模型举例
• （一）荷载—结构模型计算原理
• 以荷载-结构模型中“主动荷载+围岩弹性 约束模型”为例，介绍曲墙拱结构计算原理及 分析步骤。弹性反力分析基于局部变形理论。 （1）建立计算模型 （2）弹性抗力分布及计算 （3）截面内力计算及校核 （4）计算步骤
• • • •
曲墙拱结构的设计计算步骤（17步）
1）计算结构的几何尺寸，并绘制断面图 2）计算作用在衬砌结构上的主动荷载 3）绘制分块图 4）计算半拱轴长度 5）计算各分段截面中心的几何要素 6）计算基本结构的单位位移 ik 7）计算主动荷载在基本结构中产生的变位 1 p 2 p 8）解主动荷载作用下的力法方程 9）计算主动荷载作用下各截面的内力，并校核计算精度 10）求单位弹性反力图及相应摩擦力作用下基本结构中 产生的变位 1 2
（3）截面内力计算及校核
为便于计算，可将曲墙式的基本结构分解为在主动外荷 载和弹性抗力作用下的两个基本图式，分别计算出相应的截 面内力和位移值，然后用叠加原理求出衬砌截面的总内力。 实际上，在结构与荷载均对称的情况下，可以从拱顶切开， 以一对悬臂曲梁作为基本结构，切开处赘余力（多余未知 力）：弯矩 X1、法向力X2 和 剪力X3，其中剪力X3=0。
'
' yh 为墙底外缘点至h的垂直距离。
(4.4.1-1)
yi 为拱圈上所讨论截面外缘点至h点的垂直距离。 式中，
围岩弹性反力对于衬砌的变形还会在围岩与衬砌产生相应的 摩擦力，摩擦力的分布图形与弹性反力相同，也是σh的函数。
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（2）弹性抗力分布及计算
2）最大抗力点h处的弹性抗力分析 因此，解题关键在于首先求出h点的抗力σh 。 根据文可尔假定，h点的抗力与h点的衬砌变形有关，而h 点的变形是外荷载和弹性抗力共同作用的结果：
(4.4.1-5) 式中 ik 为基本结构在单位荷载 单位位移； ip为基本结构在主动荷载 作用下，在Xi方向产生的位移。
f 矢高
ap拱脚最终转角
最终水平位移 u ap
X k 1 作用时，在 X i 方向产生的
ap
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①求主动荷载作用下衬砌 i 截面的衬砌内力 墙底拱脚的最终转角和位移计算，需要分表考虑 X 1 p ， X2p 和外荷载的各自影响，再按照叠加原理相加获得，由于不考虑 拱脚的径向位移，拱脚只有转动发生，则有：
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11）解弹性反力及其摩擦力作用下的力法方程 12）求单位弹性反力图及摩擦力作用下截面的内力，并校核 其计算精度 13）计算最大弹性反力值
Xh 14）计算多余未知力X1和 2
15）计算衬砌截面总的内力并校核计算精度 16）绘制内力图 17）衬砌截面强度验算
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(4.4.1-11)
h
( yh yi ) M i s ( yh yi ) M i ds EI E I
yh
yi
M ip
M i
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④衬砌内力计算及校核计算结果的正确性 根据叠加原理可以求出任意i截面最终的内力值。
M i M ip h M i
0 a0 M a 1
单位弹性反力作用下的基本结构
根据性反力作用下的内力计算式：
M i X 1 X 2 yi M i0
N i X 2 cos i N i0
③位移及最大弹性反力计算
hp
h
M ip M ih EI M M i ih ds yah a EI ds yah ap s M ip M ih I yab ap E s M i M ih I yab a E
(4.4.1-10)
式中各项含义见下图。1 为墙底的单位转角。
当最大弹性反力截面与竖直轴的夹角接近90°时，为简化计算， 可以将h点的位移方向视为水平。在荷载和结构均对称的情况下 拱顶没有水平位移及转角。因此，h点相对拱顶而言的水平位移， 即为h点的实际水平位移。此时，有下图计算图式。 位移计 算公式
hp
( yh yi ) M ip EI ds s ( yh yi ) M ip E I
0 ap X 1 p 1 X 2 p f1 ap
弯矩
法向力
将上式带入(4.4.1-5）式（典型方程），整理后有：
0 X 1 p (11 1 ) X 2 p (12 f1 ) 1 p ap 0
(4.4.1-6)
X 1 p ( 21 f1 ) X 2 p ( 22 f 1 ) 2 p f 0
0 M ip X 1 p X 2 p yi M ip
0 Nip X 2 p cosi Nip
(4.4.1-7)
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②被动单位荷载作用下的衬砌内力计算 计算方法同上，首先求单位弹性反力作用下的多余未 知力，公式如下：
X 1 (11 1 ) X 2 (12 f1 ) 1 a0 0
X 1 ( 21 f1 ) X 2 ( 22 f 2 1 ) 2 f a0 0
(4.4.1-8)
式中， i 以 h 1 单位弹性反力图为 荷载引起的基本结构在 X 1 方向的位移；
2 与上相同，在 X 2 方向产生的位移。
a0 为基本结构墙底的荷载转角
• （一）荷载—结构模型计算原理
• （1）建立计算模型 • 思路及过程： • 1）确定约束条件 • 2）假定弹性抗力：作用范围、抗力分布规律、最 大弹性反力点的位置。 • • 这种假定弹性抗力分布特征，用于这种地下结构 的计算方法简称为“假定抗力图形法”。在圆形衬砌、 曲墙式衬砌和直墙式衬砌的拱圈结构计算中采用。
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（1）建立计算模型 1）约束条件
墙基支承在弹性的 围岩上，视为弹性固 定端。因底部摩擦力 很大，无水平位移， 将结构视为支承在弹 性地基上的高拱。 该结构被简化为在 主动荷载(垂直荷载大 于水平荷载)及弹性抗 力共同作用下： ①支承在弹性地基 上的无铰高拱， ②无水平位移。
（1）建立计算模型
2 0 ap
式中 1 为墙底的单位转角
1
0 0 0 ap 为基本结构墙底的荷载转角 ap M ap 1
12 1 3 bd a K a K aI a
①求主动荷载作用下衬砌 i 截面的衬砌内力 根据式（4.4.1-6），可以求解出多余未知力 X 1 p
X2p
这样，主动荷载作用下的衬砌内力可以按照下式求解:
（2）弹性抗力分布及计算
按照前述方式，假定好上零点b、下零点a和最大抗力点h后， 就可以进一步讨论弹性抗力分布与计算问题。 1）弹性抗力分布假定 在上零点b和下零点a之间任意点截面的法向弹性抗力σi ， 认为服从如下分布规律：
cos 2 b cos 2 i 在bh段，任意截面i处 ： i h cos 2 cos 2 b h yi'2 1 (4.4.1-2) 在ah段： i '2 h yh
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（3）截面内力计算及校核
实际上，在结构与荷载均对称的情况下，可以从拱顶切 开，以一对悬臂曲梁作为基本结构，切开处赘余力（多余未 知力）：弯矩 X1、法向力X2 和 剪力X3，其中剪力X3=0。
截面内力计算的具体步骤为： ①求主动荷载作用下衬砌 i 截 面的衬砌内力 ②被动单位荷载作用下的衬砌 内力计算 ③位移及最大弹性反力计算 ④衬砌内力计算及校核计算结 果的正确性
截面内力计算： ①求主动荷载作用下衬砌 i 截面的衬砌内力 多余未知力（赘余力）为 X 1 p X 2 p 拱顶截面相对转角和 相对水平位移为零，由此可以列出变形协 调方程（或叫典型方程）：