2020秋高三年级第一学期期中模拟测试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合}{1<=x x A ，}{)3(<-=x x x B ，则=B A Y ( )A. ()0,1-B. ()1,0C. ()3,1-D. ()3,12.设复数z 满足()i z i 211-=⋅+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( ) A. 24 B.36 C.48 D.604.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）A.B.C.D.5．在等比数列{}n a 中，4a 和12a 是方程0132=++x x 的两根，则=8a ( )A ．23-B ．23C ．1-D ．1±6.已知向量()m ,1=，()2,3-=，且⊥+)(，则=m ( ) A ．－8 B ．－6 C. 6 D ．87.下列函数中，在()+∞,0内单调递减的是 ( ) A. xy -=22B. x x y +-=11 C. x y 1log 21= D. a x x y ++-=228.函数()()ϕω+=x A x f sin ()R x A ∈⎪⎭⎫⎝⎛<<->>22,0,0πϕπω的部分图象(如图所示，则=⎪⎭⎫⎝⎛3πf ( ) A.21 B.23C. 21-D. 23-9.已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围 A ．4≥m 或2-≤mB ．2≥m 或4-≤mC ．42<<-mD ．24<<-m10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π511.已知O 为坐标原点，抛物线x y C 8:2=上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则AP OP +的最小值为 ( ) A.4 B.34 C.64 D.36 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,]2x π∈时，()f x =则函数()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13.已知()61ax -的展开式中3x 的系数为20，则=a14. 曲线()1ln 2+=x y 在点()0,0处的切线方程为15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C 16.已知函数()122-=x x x f ，数列{}n a 的通项公式为)(2019*∈⎪⎭⎫⎝⎛=N n n f a n ，则=2019a ;此数列前2019项的和为 ． 三、解答题：17. 已知等差数列{}n a 满足,26,7753=+=a a a {}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S ； （2）令),(112*∈-=N n a b n n 求数列{}n b 的前n 项和为n T18.在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ，2==PD PA ,四边形ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ,E 是AD 的中点. (1)求证: ⊥BE 平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)2515，，第2组[)3525，，第3组[)4535，，第4 组[)5545，，第5组[)6555，，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.20.在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为()9122=+-y x ，圆2C 的方程为()1122=++y x ，动圆C与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知()0,2-P 与()0,2Q 为平面内的两个定点，过()0,1点的直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. 已知R a ∈，函数()x a xx f ln 2+=. （1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若2=x 是()x f 的极值点，且曲线()x f y =在两点()()()()2211,,,x f x Q x f x P()621<<x x 处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为21,b b ，求21b b -的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线θρcos 4:1=C ，3cos :2=θρC .（1）求1C 与2C 的交点的极坐标； （2）设点Q 在1C 上，32=，求动点P 的轨迹的极坐标方程. 23.选修4—5：不等式选讲 设函数()25--+-=x a x x f . (1)当1=a 时,求不等式()0≥x f 的解集; (2)若()1≤x f 恒成立,求a 的取值范围.数学试卷(理)答案一、选择题二、填空题：13. 1- ; 14. x y 2= 15.4π16. 22019=a ；2020 三、解答题：17.（1）12+=n a n ，n n S n 22+=（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=111412221nn n n b n44+=n nT n18.解：（1）连接BD ，由2PA PD==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(A B C -，有(1,0,PA PB ==u u u r u u u r，(PC =-u u u r ，令平面PAB 的法向量为n r ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r，可得一个n =r ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =u r，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||||||m n m n ⋅=u r r u r r .19. 解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===所以X 的分布列为4~(3,)5X B Q ，()4123.55E X np ==⨯=20. 解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l (2,0)Q 到直线l ，从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，由函数13y t t =+在[1,)+∞单调递增 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，四边形APBQ 面积的最大值为6.21. （1）2222()a ax f x x x x-'=-+=，①当0a ≤时，()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时， 2(0,)x a ∈时()0f x '<，2[,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减，在2[,)x a∈+∞单调递增；（Ⅱ）∵2x =是()f x 的极值点， ∴由（1）可知22a=， ∴1a =设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-， 在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x += ∵211112x x =-,且1206x x <<<，∴11111162x x <-<，∴111143x <<，∴1(3,4)x ∈令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+-.∵211112x x =-，∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+- 设1()82ln ln()2g x x x x =--+-，11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x x x -+-'=--==<---∴()g x 在区间11(,)43上单调递减，∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-.22. （1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，6πθ±=， 32=ρ交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛±6,32π（2）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ=，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为θρcos 10= 23.(1) []3,2-(2) (][)+∞-∞-,26,Y。